MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorIntegrale definiteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie f:[0,2]→Rf: [0,2] \to \mathbb{R} o funcție continuă astfel încât ∫01f(x)dx=2\int_{0}^{1} f(x) dx = 2 și ∫12f(x)dx=3\int_{1}^{2} f(x) dx = 3. Calculați ∫02(f(2−x)+f(x))dx\int_{0}^{2} (f(2-x) + f(x)) dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Notăm I=∫02(f(2−x)+f(x))dx=∫02f(2−x)dx+∫02f(x)dxI = \int_{0}^{2} (f(2-x) + f(x)) dx = \int_{0}^{2} f(2-x) dx + \int_{0}^{2} f(x) dx.
23 puncte
Pentru integrala ∫02f(2−x)dx\int_{0}^{2} f(2-x) dx, facem schimbarea de variabilă u=2−xu = 2-x; atunci du=−dxdu = -dx, limitele devin: când x=0x=0, u=2u=2; când x=2x=2, u=0u=0. Deci ∫02f(2−x)dx=∫20f(u)(−du)=∫02f(u)du=∫02f(x)dx\int_{0}^{2} f(2-x) dx = \int_{2}^{0} f(u) (-du) = \int_{0}^{2} f(u) du = \int_{0}^{2} f(x) dx.
32 puncte
Înlocuind, obținem I=∫02f(x)dx+∫02f(x)dx=2∫02f(x)dxI = \int_{0}^{2} f(x) dx + \int_{0}^{2} f(x) dx = 2 \int_{0}^{2} f(x) dx.
42 puncte
Calculăm ∫02f(x)dx=∫01f(x)dx+∫12f(x)dx=2+3=5\int_{0}^{2} f(x) dx = \int_{0}^{1} f(x) dx + \int_{1}^{2} f(x) dx = 2 + 3 = 5, deci I=2⋅5=10I = 2 \cdot 5 = 10.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.