MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorTrigonometrie
Se consideră integrala I=∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdxI = \int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx. a) Folosind substituția u=π−xu = \pi - x, să se arate că I=π2∫0πsin⁡x1+cos⁡2xdxI = \frac{\pi}{2} \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx. b) Să se calculeze J=∫0πsin⁡x1+cos⁡2xdxJ = \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx folosind schimbarea de variabilă t=cos⁡xt = \cos x. c) Să se determine valoarea lui II.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Pentru a), facem substituția u=π−xu = \pi - x. Atunci du=−dxdu = -dx. Când x=0x=0, u=πu=\pi; când x=πx=\pi, u=0u=0. Deci: I=∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=∫π0(π−u)sin⁡(π−u)1+cos⁡2(π−u)(−du)=∫0π(π−u)sin⁡u1+(−cos⁡u)2du=∫0π(π−u)sin⁡u1+cos⁡2uduI = \int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx = \int_{\pi}^{0} \frac{(\pi - u) \sin(\pi - u)}{1+\cos^2(\pi - u)} (-du) = \int_0^{\pi} \frac{(\pi - u) \sin u}{1+(-\cos u)^2} du = \int_0^{\pi} \frac{(\pi - u) \sin u}{1+\cos^2 u} du. Am folosit sin⁡(π−u)=sin⁡u\sin(\pi - u) = \sin u și cos⁡(π−u)=−cos⁡u\cos(\pi - u) = -\cos u, deci cos⁡2(π−u)=cos⁡2u\cos^2(\pi - u) = \cos^2 u. Așadar, I=∫0ππsin⁡u1+cos⁡2udu−∫0πusin⁡u1+cos⁡2udu=π∫0πsin⁡u1+cos⁡2udu−II = \int_0^{\pi} \frac{\pi \sin u}{1+\cos^2 u} du - \int_0^{\pi} \frac{u \sin u}{1+\cos^2 u} du = \pi \int_0^{\pi} \frac{\sin u}{1+\cos^2 u} du - I. Deci 2I=π∫0πsin⁡u1+cos⁡2udu2I = \pi \int_0^{\pi} \frac{\sin u}{1+\cos^2 u} du, adică I=π2∫0πsin⁡u1+cos⁡2uduI = \frac{\pi}{2} \int_0^{\pi} \frac{\sin u}{1+\cos^2 u} du. Schimbând variabila de integrare în xx, obținem I=π2∫0πsin⁡x1+cos⁡2xdxI = \frac{\pi}{2} \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx.
24 puncte
Pentru b), calculăm J=∫0πsin⁡x1+cos⁡2xdxJ = \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx. Folosim schimbarea de variabilă t=cos⁡xt = \cos x. Atunci dt=−sin⁡xdxdt = -\sin x dx, deci sin⁡xdx=−dt\sin x dx = -dt. Când x=0x=0, t=cos⁡0=1t=\cos 0=1; când x=πx=\pi, t=cos⁡π=−1t=\cos \pi = -1. Așadar, J=∫0πsin⁡x1+cos⁡2xdx=∫1−111+t2(−dt)=∫−1111+t2dtJ = \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx = \int_{1}^{-1} \frac{1}{1+t^2} (-dt) = \int_{-1}^{1} \frac{1}{1+t^2} dt. Acum, ∫11+t2dt=arctan⁡t\int \frac{1}{1+t^2} dt = \arctan t, deci J=[arctan⁡t]−11=arctan⁡(1)−arctan⁡(−1)=π4−(−π4)=π4+π4=π2J = [\arctan t]_{-1}^{1} = \arctan(1) - \arctan(-1) = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}.
32 puncte
Pentru c), din a) avem I=π2JI = \frac{\pi}{2} J, iar din b) J=π2J = \frac{\pi}{2}, deci I=π2⋅π2=π24I = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.