MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 10

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaSisteme de Ecuații NeliniareDomeniul de definiție al funcțiilor
Determinați punctele de intersecție dintre graficul funcției f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 și graficul funcției g(x)=1x−2g(x) = \frac{1}{x-2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se rezolvă sistemul {y=x2−4x+3y=1x−2\begin{cases} y = x^2 - 4x + 3 \\ y = \frac{1}{x-2} \end{cases}. Egalând: x2−4x+3=1x−2x^2 - 4x + 3 = \frac{1}{x-2}, cu condiția x≠2x \neq 2.
23 puncte
Se aduce la același numitor: (x2−4x+3)(x−2)=1(x^2 - 4x + 3)(x-2) = 1, adică (x2−4x+3)(x−2)−1=0 (x^2 - 4x + 3)(x-2) -1 =0. Desfacem: x3−2x2−4x2+8x+3x−6−1=x3−6x2+11x−7=0 x^3 - 2x^2 -4x^2 +8x +3x -6 -1 = x^3 -6x^2 +11x -7 =0.
32 puncte
Se caută rădăcini raționale. Posibile: ±1,±7\pm1, \pm7. Verificăm: pentru x=1x=1: 1−6+11−7=−1≠01 -6 +11 -7 = -1 \neq 0; pentru x=7x=7: 343 -294 +77 -7=119 nu; pentru x=−1x=-1: -1 -6 -11 -7=-25. Se observă că x=1x=1 nu e rădăcină, dar x=1x=1 este rădăcină a lui f(x)=0f(x)=0, dar nu verifică ecuația. Încerc x=...x=... sau se poate observa că x=1x=1 nu e soluție a ecuației inițiale, deci nu. Factorizare: x3−6x2+11x−7=(x−1)(x2−5x+7)+0?x^3 -6x^2 +11x -7 = (x-1)(x^2 -5x +7) +0? Verific: (x−1)(x2−5x+7)=x3−5x2+7x−x2+5x−7=x3−6x2+12x−7(x-1)(x^2 -5x+7)= x^3 -5x^2+7x -x^2+5x-7= x^3 -6x^2+12x-7, deci diferă cu −x-x. Corect: x3−6x2+11x−7=(x−1)(x2−5x+6)+0?x^3 -6x^2 +11x -7 = (x-1)(x^2 -5x+6) +0? (x−1)(x2−5x+6)=x3−5x2+6x−x2+5x−6=x3−6x2+11x−6(x-1)(x^2-5x+6)= x^3-5x^2+6x -x^2+5x-6= x^3-6x^2+11x-6, deci diferă cu −1-1. Așadar, x3−6x2+11x−7=(x−1)(x2−5x+6)−1=0 x^3 -6x^2 +11x -7 = (x-1)(x^2-5x+6) -1 =0, nu ajută. Se poate încerca x=7/...x=7/.... Mai simplu, se rezolvă grafic sau se notează că ecuația este dificilă. Alternativ, din enunț, se poate presupune că există o soluție evidentă: x=3x=3? Pentru x=3x=3: 27−54+33−7=−1≠027 -54 +33 -7= -1 \neq 0. x=2x=2 nu este permis. Să rezolvăm corect: (x2−4x+3)(x−2)=1 (x^2-4x+3)(x-2)=1. x2−4x+3=(x−1)(x−3)x^2-4x+3 = (x-1)(x-3). Deci (x−1)(x−3)(x−2)=1 (x-1)(x-3)(x-2)=1. Aceasta este o ecuație de gradul 3. Se poate încerca x=0x=0: (1)(-3)(-2)=6; x=1x=1: 0; x=3x=3:0; x=4x=4: (3)(1)(2)=6. Deci între 1 și 3 funcția ia valori negative, iar la capete pozitive. Ecuația h(x)=(x−1)(x−2)(x−3)=1h(x)=(x-1)(x-2)(x-3)=1 are soluții unde h(x)=1h(x)=1. h(x)h(x) este un polinom cubic cu vârfuri. Se poate găsi soluția numeric sau exact? Se poate nota t=x−2t=x-2, atunci (t2−1)t=1(t^2-1)t=1, adică t3−t−1=0t^3 - t -1=0, care nu are rădăcini raționale evidente. Așadar, soluțiile nu sunt frumoase. Pentru scopul exercițiului, putem considera că se cere rezolvarea sistemului și analiza, dar în barem putem prezenta soluția aproximativă sau metodologia.
42 puncte
Ecuația t3−t−1=0t^3 - t -1=0 are o rădăcină reală t≈1.3247t \approx 1.3247, deci x=t+2≈3.3247x = t+2 \approx 3.3247. Atunci y=1x−2=1t≈0.7549y = \frac{1}{x-2} = \frac{1}{t} \approx 0.7549. Verificare în prima ecuație: f(3.3247)≈(3.3247)2−4∗3.3247+3=11.055−13.2988+3=0.7562≈0.7549f(3.3247) \approx (3.3247)^2 -4*3.3247 +3 = 11.055 -13.2988 +3=0.7562 \approx 0.7549. Deci punctul de intersecție este aproximativ (3.3247,0.7549)(3.3247, 0.7549). Nu există alte puncte reale deoarece ecuația cubică are o singură rădăcină reală (discriminant pozitiv pentru celelalte două complexe).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.