MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriMatriciAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \} și operația de înmulțire a matricelor. Verificați dacă (G,⋅)(G, \cdot) este un grup. Dacă da, determinați centrul grupului.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se verifică închiderea: pentru orice A,B∈GA, B \in G, avem det⁡(A)=1\det(A) = 1 și det⁡(B)=1\det(B) = 1, deci det⁡(AB)=det⁡(A)det⁡(B)=1\det(AB) = \det(A)\det(B) = 1, adică AB∈GAB \in G.
21 punct
Asociativitatea este moștenită de la înmulțirea matricelor peste R\mathbb{R}.
32 puncte
Elementul neutru este matricea identitate I2I_2, cu det⁡(I2)=1\det(I_2) = 1, deci I2∈GI_2 \in G.
42 puncte
Pentru orice A∈GA \in G, există A−1A^{-1} astfel încât AA−1=I2AA^{-1} = I_2 și det⁡(A−1)=1det⁡(A)=1\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} = 1, deci A−1∈GA^{-1} \in G.
53 puncte
Determinarea centrului: Z(G)={A∈G∣AB=BA pentru orice B∈G}Z(G) = \{ A \in G \mid AB = BA \text{ pentru orice } B \in G \}. Se arată că A=(abcd)A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} comută cu toate matricile din GG doar dacă b=c=0b = c = 0 și a=da = d, iar din det⁡(A)=1\det(A)=1 rezultă a2=1a^2 = 1, deci Z(G)={I2,−I2}Z(G) = \{ I_2, -I_2 \}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.