MediuMatematică aplicatăClasa 9

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăVectoriAplicații ale trigonometriei în geometrie
O barcă traversează un râu de lățime 100 m, îndreptându-se perpendicular pe maluri cu viteza proprie de 2 m/s. Curentul râului are viteza de 1.5 m/s paralel cu malurile. Considerăm sistemul de coordonate cu axa xx paralelă cu malurile și axa yy perpendiculară. a) Determinați viteza rezultantă a bărcii. b) Calculați timpul de traversare. c) Aflați distanța la care barca ajunge pe malul opus față de punctul de plecare. d) Dacă barca ar vrea să ajungă exact în punctul opus pe mal, cu ce unghi θ\theta față de perpendiculară ar trebui să se îndrepte?

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Viteza proprie a bărcii este v⃗b=2j⃗\vec{v}_b = 2 \vec{j} m/s. Viteza curentului este v⃗c=1.5i⃗\vec{v}_c = 1.5 \vec{i} m/s. Viteza rezultantă este v⃗r=v⃗b+v⃗c=1.5i⃗+2j⃗\vec{v}_r = \vec{v}_b + \vec{v}_c = 1.5 \vec{i} + 2 \vec{j} m/s.
22 puncte
Mărimea vitezei rezultante: vr=1.52+22=6.25=2.5v_r = \sqrt{1.5^2 + 2^2} = \sqrt{6.25} = 2.5 m/s.
32 puncte
Timpul de traversare: deoarece mișcarea în direcția yy este cu viteza 2 m/s, t=1002=50t = \frac{100}{2} = 50 s.
42 puncte
Distanța pe malul opus: în direcția xx, deplasarea este dx=vcx×t=1.5×50=75d_x = v_{cx} \times t = 1.5 \times 50 = 75 m.
52 puncte
Pentru a ajunge exact în punctul opus, viteza rezultantă trebuie să aibă componenta xx nulă. Fie θ\theta unghiul față de perpendiculară. Atunci v⃗b=2(−sin⁡θi⃗+cos⁡θj⃗)\vec{v}_b = 2(-\sin\theta \vec{i} + \cos\theta \vec{j}). Condiția: −2sin⁡θ+1.5=0-2\sin\theta + 1.5 = 0, deci sin⁡θ=0.75\sin\theta = 0.75, astfel θ=arcsin⁡(0.75)≈48.59∘\theta = \arcsin(0.75) \approx 48.59^\circ.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.