MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Considerăm mulțimea M=R∖{−1}M = \mathbb{R} \setminus \{-1\} și legea de compoziție definită prin x∗y=x+y+xyx * y = x + y + xy. Să se demonstreze că (M,∗)(M, *) este un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm că operația este bine definită pe MM. Pentru orice x,y∈Mx, y \in M, avem x∗y=x+y+xy∈Rx * y = x + y + xy \in \mathbb{R}. Să arătăm că x∗y≠−1x * y \neq -1: presupunem x∗y=−1x * y = -1, atunci x+y+xy=−1  ⟹  (x+1)(y+1)=0x + y + xy = -1 \implies (x+1)(y+1)=0, deci x=−1x = -1 sau y=−1y = -1, dar acestea nu sunt în MM, deci x∗y∈Mx * y \in M.
23 puncte
Asociativitatea: pentru orice x,y,z∈Mx, y, z \in M, calculăm (x∗y)∗z=(x+y+xy)+z+(x+y+xy)z=x+y+xy+z+xz+yz+xyz(x * y) * z = (x + y + xy) + z + (x + y + xy)z = x + y + xy + z + xz + yz + xyz și x∗(y∗z)=x+(y+z+yz)+x(y+z+yz)=x+y+z+yz+xy+xz+xyzx * (y * z) = x + (y + z + yz) + x(y + z + yz) = x + y + z + yz + xy + xz + xyz. Sunt egale, deci operația este asociativă.
32 puncte
Elementul neutru: căutăm e∈Me \in M astfel încât x∗e=xx * e = x. x∗e=x+e+xe=x  ⟹  e+xe=0  ⟹  e(1+x)=0x * e = x + e + xe = x \implies e + xe = 0 \implies e(1+x) = 0. Deoarece x≠−1x \neq -1, 1+x≠01+x \neq 0, deci e=0e = 0. Verificăm că 0∈M0 \in M și x∗0=xx * 0 = x, deci e=0e=0 este element neutru.
43 puncte
Inversul: pentru x∈Mx \in M, căutăm x′x' astfel încât x∗x′=0x * x' = 0. x∗x′=x+x′+xx′=0  ⟹  x′(1+x)=−x  ⟹  x′=−x1+xx * x' = x + x' + xx' = 0 \implies x'(1+x) = -x \implies x' = \frac{-x}{1+x}, care există deoarece x≠−1x \neq -1. Verificăm că x′∈Mx' \in M: dacă x′=−1x' = -1, atunci −x1+x=−1  ⟹  −x=−1−x  ⟹  0=−1\frac{-x}{1+x} = -1 \implies -x = -1 - x \implies 0 = -1, contradicție, deci x′≠−1x' \neq -1 și x′∈Mx' \in M.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.