MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameDerivateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați că dacă un polinom P(X)P(X) cu coeficienți reali și derivata sa P′(X)P'(X) au o rădăcină comună x0x_0, atunci x0x_0 este rădăcină multiplă de ordin cel puțin 2 pentru P(X)P(X). Aplicați această proprietate pentru polinomul P(X)=X3−3X2+4P(X) = X^3 - 3X^2 + 4 pentru a determina rădăcinile sale.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosim teorema lui Bézout și definiția rădăcinii multiple. Dacă P(x0)=0P(x_0)=0 și P′(x0)=0P'(x_0)=0, atunci x0x_0 divide atât P(X)P(X) cât și P′(X)P'(X). Prin factorizare, P(X)=(X−x0)Q(X)P(X) = (X - x_0)Q(X), iar din P′(x0)=0P'(x_0)=0, obținem că x0x_0 este rădăcină a lui Q(X)Q(X) sau se folosește regula lui L'Hôpital pentru a arăta multiplicitatea.
23 puncte
Pentru P(X)=X3−3X2+4P(X) = X^3 - 3X^2 + 4, calculăm P′(X)=3X2−6XP'(X) = 3X^2 - 6X. Căutăm rădăcinile comune rezolvând sistemul: P(x)=0P(x)=0 și P′(x)=0P'(x)=0. Din P′(x)=0P'(x)=0, avem 3x2−6x=03x^2 - 6x = 0, deci x=0x=0 sau x=2x=2. Verificăm în P(x)P(x): P(0)=4≠0P(0)=4 \neq 0, P(2)=8−12+4=0P(2)=8 - 12 + 4 = 0, deci x0=2x_0=2 este rădăcină comună.
34 puncte
Deoarece x0=2x_0=2 este rădăcină comună, ea este multiplă pentru P(X)P(X). Factorizăm P(X)P(X): P(X)=(X−2)2(X+1)P(X) = (X-2)^2(X+1) (se poate face prin împărțire sau identificare). Astfel, rădăcinile sunt x1=x2=2x_1 = x_2 = 2 (dublă) și x3=−1x_3 = -1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.