MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriMatriciDeterminanți
Fie M2(R)M_2(\mathbb{R}) mulțimea matricelor pătratice de ordinul 2 cu elemente reale. Considerați submulțimea H={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}H = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Este (H,⋅)(H, \cdot) un grup față de înmulțirea matricelor? Justificați răspunsul.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se verifică închiderea: pentru orice A,B∈HA, B \in H, avem det⁡(A)=1\det(A)=1 și det⁡(B)=1\det(B)=1. Atunci det⁡(AB)=det⁡(A)det⁡(B)=1⋅1=1\det(AB) = \det(A) \det(B) = 1 \cdot 1 = 1, deci AB∈HAB \in H.
23 puncte
Asociativitatea: înmulțirea matricelor este asociativă, adică pentru orice A,B,C∈HA, B, C \in H, (AB)C=A(BC)(AB)C = A(BC), proprietate care se menține în HH deoarece H⊆M2(R)H \subseteq M_2(\mathbb{R}).
32 puncte
Elementul neutru: matricea identitate I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} are det⁡(I2)=1\det(I_2)=1, deci I2∈HI_2 \in H. Pentru orice A∈HA \in H, A⋅I2=AA \cdot I_2 = A și I2⋅A=AI_2 \cdot A = A.
43 puncte
Inversul: pentru orice A∈HA \in H, deoarece det⁡(A)=1≠0\det(A)=1 \neq 0, matricea AA este inversabilă, și inversa sa A−1A^{-1} există cu A−1∈M2(R)A^{-1} \in M_2(\mathbb{R}). Avem det⁡(A−1)=1det⁡(A)=11=1\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{1} = 1, deci A−1∈HA^{-1} \in H, și A⋅A−1=A−1⋅A=I2A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.