MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriNumere ComplexeLegi de compoziție
Demonstrați că mulțimea G={z∈C∣∣z∣=1}G = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \} împreună cu operația de înmulțire a numerelor complexe formează un grup abelian.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificarea închiderii: pentru orice z1,z2∈Gz_1, z_2 \in G, avem ∣z1∣=1|z_1| = 1 și ∣z2∣=1|z_2| = 1, atunci ∣z1⋅z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣=1|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| = 1, deci z1⋅z2∈Gz_1 \cdot z_2 \in G.
22 puncte
Asociativitatea: înmulțirea numerelor complexe este asociativă, deci pentru orice z1,z2,z3∈Gz_1, z_2, z_3 \in G, (z1⋅z2)⋅z3=z1⋅(z2⋅z3)(z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3).
32 puncte
Elementul neutru: numărul complex 1=1+0i1 = 1 + 0i are modulul ∣1∣=1|1| = 1, deci 1∈G1 \in G și pentru orice z∈Gz \in G, z⋅1=zz \cdot 1 = z.
42 puncte
Elementul invers: pentru orice z=a+bi∈Gz = a+bi \in G, avem ∣z∣=a2+b2=1|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = 1. Inversul este z−1=zˉ∣z∣2=zˉ=a−biz^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \bar{z} = a-bi, și ∣z−1∣=a2+(−b)2=1|z^{-1}| = \sqrt{a^2 + (-b)^2} = 1, deci z−1∈Gz^{-1} \in G și z⋅z−1=1z \cdot z^{-1} = 1.
52 puncte
Comutativitatea: înmulțirea numerelor complexe este comutativă, deci pentru orice z1,z2∈Gz_1, z_2 \in G, z1⋅z2=z2⋅z1z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1, ceea ce arată că grupul este abelian.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.