MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorIntegrale definitePrimitive
Arătați că pentru orice funcție continuă f:[a,b]→Rf: [a,b] \to \mathbb{R} cu f(x)≥0f(x) \geq 0, are loc inegalitatea (∫abf(x) dx)2≤(b−a)∫ab[f(x)]2 dx\left( \int_a^b f(x) \, dx \right)^2 \leq (b-a) \int_a^b [f(x)]^2 \, dx. Aplicați această inegalitate pentru f(x)=xf(x)=x pe intervalul [0,1][0,1] și verificați-o.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se consideră funcția g(t)=∫ab[f(x)−t]2dxg(t) = \int_a^b [f(x) - t]^2 dx pentru t∈Rt \in \mathbb{R}. Dezvoltând, g(t)=∫ab[f(x)2−2tf(x)+t2]dx=∫abf(x)2dx−2t∫abf(x)dx+t2(b−a)g(t) = \int_a^b [f(x)^2 - 2t f(x) + t^2] dx = \int_a^b f(x)^2 dx - 2t \int_a^b f(x) dx + t^2 (b-a). Deoarece g(t)≥0g(t) \geq 0 pentru orice tt, discriminantul ecuației în tt este negativ sau zero: Δ=4(∫abf(x)dx)2−4(b−a)∫ab[f(x)]2dx≤0\Delta = 4 \left( \int_a^b f(x) dx \right)^2 - 4 (b-a) \int_a^b [f(x)]^2 dx \leq 0, de unde rezultă inegalitatea.
24 puncte
Demonstrația completă: g(t)g(t) este o funcție pătratică în tt cu coeficientul lui t2t^2 pozitiv (b−a>0)(b-a > 0). Minimul este atins când g(t)≥0g(t) \geq 0, deci discriminantul Δ≤0\Delta \leq 0, ceea ce conduce la (∫abf(x)dx)2≤(b−a)∫ab[f(x)]2dx\left( \int_a^b f(x) dx \right)^2 \leq (b-a) \int_a^b [f(x)]^2 dx.
32 puncte
Pentru f(x)=xf(x)=x pe [0,1][0,1], calculăm ∫01xdx=[x22]01=12\int_0^1 x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2} și ∫01x2dx=[x33]01=13\int_0^1 x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3}.
41 punct
Verificăm inegalitatea: (12)2=14\left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} și (1−0)⋅13=13(1-0) \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}. Deoarece 14≤13\frac{1}{4} \leq \frac{1}{3}, inegalitatea este adevărată.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.