MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorArii și volumeStudiul funcțiilor
Fie funcția f:[−a,a]→Rf: [-a, a] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x, cu a>0a > 0. a) Arătați că ff este funcție impară. b) Utilizând proprietățile integralelor definite, calculați ∫−aaf(x)dx\int_{-a}^a f(x) dx. c) Determinați valoarea lui aa pentru care aria mărginită de graficul lui ff, axa OxOx și dreptele x=−ax = -a și x=ax = a este egală cu 83\frac{8}{3}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Se verifică că f(−x)=(−x)3−3(−x)=−x3+3x=−(x3−3x)=−f(x)f(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x = -(x^3 - 3x) = -f(x), deci ff este impară.
23 puncte
Pentru orice funcție impară integrabilă pe un interval simetric [−a,a][-a, a], avem ∫−aaf(x)dx=0\int_{-a}^a f(x) dx = 0.
35 puncte
Aria este dată de Aria=∫−aa∣f(x)∣dx\text{Aria} = \int_{-a}^a |f(x)| dx. Se determină zerourile lui ff: f(x)=x(x2−3)=0⇒x=0,±3f(x) = x(x^2 - 3) = 0 \Rightarrow x = 0, \pm\sqrt{3}. Presupunem a>3a > \sqrt{3}. Pe [−a,−3][-a, -\sqrt{3}], f(x)≤0f(x) \leq 0; pe [−3,0][-\sqrt{3}, 0], f(x)≥0f(x) \geq 0; pe [0,3][0, \sqrt{3}], f(x)≤0f(x) \leq 0; pe [3,a][\sqrt{3}, a], f(x)≥0f(x) \geq 0. Se calculează: ∫−aa∣f(x)∣dx=∫−a−3(−f(x))dx+∫−30f(x)dx+∫03(−f(x))dx+∫3af(x)dx=[−x44+3x22]−a−3+[x44−3x22]−30+[−x44+3x22]03+[x44−3x22]3a\int_{-a}^a |f(x)| dx = \int_{-a}^{-\sqrt{3}} (-f(x)) dx + \int_{-\sqrt{3}}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{\sqrt{3}} (-f(x)) dx + \int_{\sqrt{3}}^{a} f(x) dx = \left[ -\frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} \right]_{-a}^{-\sqrt{3}} + \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} \right]_{-\sqrt{3}}^{0} + \left[ -\frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} \right]_{0}^{\sqrt{3}} + \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} \right]_{\sqrt{3}}^{a}. După evaluare, se obține a42−3a2+92=83\frac{a^4}{2} - 3a^2 + \frac{9}{2} = \frac{8}{3}. Rezolvând ecuația, se găsește a=2a = 2 (soluția pozitivă relevantă).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.