MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriMatriciLegi de compoziție
Fie mulțimea M={A(a,b)=(ab01)∣a,b∈R,a>0}M = \left\{ A(a,b) = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R}, a > 0 \right\}. Demonstrați că (M,⋅)(M, \cdot) este un grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificăm închiderea: pentru orice A(a,b),A(c,d)∈MA(a,b), A(c,d) \in M, produsul A(a,b)⋅A(c,d)=(ab01)(cd01)=(acad+b01)A(a,b) \cdot A(c,d) = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac & ad + b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Deoarece a>0a>0 și c>0c>0, avem ac>0ac>0, deci A(ac,ad+b)∈MA(ac, ad+b) \in M.
21 punct
Asociativitatea: înmulțirea matricelor este asociativă, deci operația este asociativă pe MM.
32 puncte
Elementul neutru: căutăm A(e,f)A(e,f) astfel încât A(a,b)⋅A(e,f)=A(a,b)A(a,b) \cdot A(e,f) = A(a,b). A(a,b)⋅A(e,f)=(ab01)(ef01)=(aeaf+b01)A(a,b) \cdot A(e,f) = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & f \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae & af + b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Pentru ca acesta să fie egal cu A(a,b)=(ab01)A(a,b) = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, trebuie ae=aae = a și af+b=baf + b = b. Din ae=aae = a și a>0a>0, obținem e=1e=1. Din af+b=baf + b = b, cu a>0a>0, obținem af=0⇒f=0af=0 \Rightarrow f=0. Deci A(1,0)=(1001)A(1,0) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} este elementul neutru.
44 puncte
Elementul invers: pentru A(a,b)∈MA(a,b) \in M, căutăm A(c,d)A(c,d) astfel încât A(a,b)⋅A(c,d)=A(1,0)A(a,b) \cdot A(c,d) = A(1,0). A(a,b)⋅A(c,d)=(acad+b01)=(1001)A(a,b) \cdot A(c,d) = \begin{pmatrix} ac & ad + b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Deci ac=1ac=1 și ad+b=0ad+b=0. Din ac=1ac=1 și a>0a>0, obținem c=1a>0c=\frac{1}{a}>0. Din ad+b=0ad+b=0, obținem d=−bad=-\frac{b}{a}. Verificăm că A(1a,−ba)∈MA(\frac{1}{a}, -\frac{b}{a}) \in M deoarece 1a>0\frac{1}{a}>0. Așadar, inversul există.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.