MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 10

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația sin⁡2x+(m−1)sin⁡x+m=0\sin^2 x + (m-1)\sin x + m = 0, unde m este un parametru real. Determinați valorile lui m pentru care ecuația are soluții în intervalul [0,2π][0, 2\pi].

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notați t=sin⁡xt = \sin x. Atunci ecuația devine t2+(m−1)t+m=0t^2 + (m-1)t + m = 0, cu t∈[−1,1]t \in [-1, 1], deoarece sin⁡x\sin x ia valori în acest interval.
23 puncte
Analizați ecuația pătratică în t. Discriminantul este Δ=(m−1)2−4m=m2−6m+1\Delta = (m-1)^2 - 4m = m^2 - 6m + 1. Pentru ca ecuația să aibă soluții reale în t, este necesar Δ≥0\Delta \geq 0, adică m≤3−22m \leq 3 - 2\sqrt{2} sau m≥3+22m \geq 3 + 2\sqrt{2}.
32 puncte
Aplicați condițiile ca soluțiile t1t_1 și t2t_2 să fie în [−1,1][-1, 1]. Folosiți teorema lui Viete: t1+t2=1−mt_1 + t_2 = 1 - m și t1t2=mt_1 t_2 = m. Analizați poziția rădăcinilor prin inecuații, de exemplu −1≤t1≤1-1 \leq t_1 \leq 1 și −1≤t2≤1-1 \leq t_2 \leq 1, ceea ce conduce la sistemul {(t1+1)(t2+1)≥0(t1−1)(t2−1)≥0\begin{cases} (t_1 + 1)(t_2 + 1) \geq 0 \\ (t_1 - 1)(t_2 - 1) \geq 0 \end{cases}, și înlocuiți cu relațiile lui Viete.
43 puncte
Combinați condițiile pentru a găsi valorile lui m. Din pasul 3, obțineți m∈[−1,1]m \in [-1, 1]. Intersectați cu condiția de la pasul 2 pentru Δ≥0\Delta \geq 0, rezultând m∈[−1,3−22]∪[3+22,∞)m \in [-1, 3 - 2\sqrt{2}] \cup [3 + 2\sqrt{2}, \infty). Verificați că pentru aceste m, există x în [0,2π][0, 2\pi] astfel încât sin⁡x=t1\sin x = t_1 sau t2t_2, deci ecuația inițială are soluții.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.