MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea R∖{−1}\mathbb{R} \setminus \{-1\} se definește legea de compoziție x∗y=x+y+xyx * y = x + y + xy. Demonstrați că (R∖{−1},∗)(\mathbb{R} \setminus \{-1\}, *) formează un grup abelian.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificăm închiderea: pentru orice x,y∈R∖{−1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}, avem x∗y=x+y+xyx * y = x + y + xy. Presupunem că x∗y=−1x * y = -1, atunci x+y+xy=−1⇒(x+1)(y+1)=0x + y + xy = -1 \Rightarrow (x+1)(y+1)=0, deci x=−1x=-1 sau y=−1y=-1, contradicție. Așadar, x∗y∈R∖{−1}x * y \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}.
23 puncte
Verificăm asociativitatea: pentru orice x,y,z∈R∖{−1}x, y, z \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}, (x∗y)∗z=(x+y+xy)∗z=(x+y+xy)+z+(x+y+xy)z=x+y+xy+z+xz+yz+xyz(x * y) * z = (x + y + xy) * z = (x + y + xy) + z + (x + y + xy)z = x + y + xy + z + xz + yz + xyz. Similar, x∗(y∗z)=x∗(y+z+yz)=x+(y+z+yz)+x(y+z+yz)=x+y+z+yz+xy+xz+xyzx * (y * z) = x * (y + z + yz) = x + (y + z + yz) + x(y + z + yz) = x + y + z + yz + xy + xz + xyz. Se observă că sunt egale, deci operația este asociativă.
32 puncte
Căutăm elementul neutru ee astfel încât x∗e=xx * e = x pentru orice xx. x∗e=x+e+xe=x⇒e(1+x)=0⇒e=0x * e = x + e + xe = x \Rightarrow e(1+x) = 0 \Rightarrow e=0 (deoarece x≠−1x \neq -1, 1+x≠01+x \neq 0). Verificăm că 0∗x=0+x+0⋅x=x0 * x = 0 + x + 0 \cdot x = x, deci e=0e=0 este elementul neutru.
42 puncte
Pentru fiecare x∈R∖{−1}x \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}, căutăm x′x' astfel încât x∗x′=0x * x' = 0. x∗x′=x+x′+xx′=0⇒x′(1+x)=−x⇒x′=−x1+xx * x' = x + x' + xx' = 0 \Rightarrow x'(1+x) = -x \Rightarrow x' = -\frac{x}{1+x} (există deoarece x≠−1x \neq -1). Verificăm că x′∈R∖{−1}x' \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}: dacă x′=−1x' = -1, atunci −x1+x=−1⇒x=1+x⇒0=1-\frac{x}{1+x} = -1 \Rightarrow x = 1+x \Rightarrow 0=1, fals.
51 punct
Verificăm comutativitatea: x∗y=x+y+xy=y+x+yx=y∗xx * y = x + y + xy = y + x + yx = y * x, deci grupul este abelian.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.