MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Dacă log⁡1218=a\log_{12} 18 = a și log⁡2454=b\log_{24} 54 = b, exprimați log⁡62\log_{6} 2 în funcție de aa și bb.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se scrie a=log⁡18log⁡12a = \frac{\log 18}{\log 12} și b=log⁡54log⁡24b = \frac{\log 54}{\log 24}, unde log este logaritmul într-o bază arbitrară. Se notează log⁡2=p\log 2 = p și log⁡3=q\log 3 = q.
24 puncte
Atunci log⁡18=p+2q\log 18 = p + 2q, log⁡12=2p+q\log 12 = 2p + q, log⁡54=p+3q\log 54 = p + 3q, log⁡24=3p+q\log 24 = 3p + q. Obținem a=p+2q2p+qa = \frac{p+2q}{2p+q} și b=p+3q3p+qb = \frac{p+3q}{3p+q}.
33 puncte
Se exprimă log⁡62=pp+q\log_6 2 = \frac{p}{p+q}. Din a=p+2q2p+qa = \frac{p+2q}{2p+q}, rezultă p(2a−1)=q(2−a)p(2a-1) = q(2-a), deci pq=2−a2a−1\frac{p}{q} = \frac{2-a}{2a-1}. Atunci log⁡62=p/qp/q+1=2−a2a−12−a2a−1+1=2−aa+1\log_6 2 = \frac{p/q}{p/q + 1} = \frac{ \frac{2-a}{2a-1} }{ \frac{2-a}{2a-1} + 1 } = \frac{2-a}{a+1}. Alternativ, din bb se obține log⁡62=3−b2(b+1)\log_6 2 = \frac{3-b}{2(b+1)}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.