MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Fie polinomul P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c cu coeficienți reali. Știind că 1+i1+i este rădăcină a polinomului și că P(2)=10P(2) = 10, determinați coeficienții a,b,ca, b, c.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali, dacă 1+i1+i este rădăcină, atunci și conjugata sa 1−i1-i este rădăcină.
23 puncte
Polinomul se poate scrie sub forma P(x)=(x−(1+i))(x−(1−i))(x−r)=(x2−2x+2)(x−r)P(x) = (x - (1+i))(x - (1-i))(x - r) = (x^2 - 2x + 2)(x - r), unde rr este a treia rădăcină reală.
33 puncte
Din P(2)=10P(2) = 10, avem (22−2⋅2+2)(2−r)=(4−4+2)(2−r)=2(2−r)=10(2^2 - 2\cdot2 + 2)(2 - r) = (4-4+2)(2-r) = 2(2-r) = 10, deci 2(2−r)=10⇒2−r=5⇒r=−32(2-r)=10 \Rightarrow 2-r=5 \Rightarrow r=-3.
42 puncte
Expandând P(x)=(x2−2x+2)(x+3)=x3+3x2−2x2−6x+2x+6=x3+x2−4x+6P(x) = (x^2 - 2x + 2)(x + 3) = x^3 + 3x^2 - 2x^2 -6x + 2x + 6 = x^3 + x^2 -4x + 6. Comparând cu forma inițială, obținem a=1,b=−4,c=6a=1, b=-4, c=6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.