MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorIntegrale definiteContinuitate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R} o funcție continuă astfel încât ∫02f(x) dx=5\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 5. Calculați ∫01[f(2x)+f(2−2x)] dx\int_{0}^{1} [f(2x) + f(2-2x)] \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Pentru ∫01f(2x) dx\int_{0}^{1} f(2x) \, dx, folosește schimbarea de variabilă t=2xt = 2x, cu dt=2dxdt = 2dx; când x=0x=0, t=0t=0, când x=1x=1, t=2t=2. Atunci ∫01f(2x) dx=12∫02f(t) dt=12⋅5=52\int_{0}^{1} f(2x) \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} f(t) \, dt = \frac{1}{2} \cdot 5 = \frac{5}{2}.
23 puncte
Pentru ∫01f(2−2x) dx\int_{0}^{1} f(2-2x) \, dx, folosește schimbarea de variabilă u=2−2xu = 2-2x, cu du=−2dxdu = -2dx; când x=0x=0, u=2u=2, când x=1x=1, u=0u=0. Atunci ∫01f(2−2x) dx=−12∫20f(u) du=12∫02f(u) du=12⋅5=52\int_{0}^{1} f(2-2x) \, dx = -\frac{1}{2} \int_{2}^{0} f(u) \, du = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} f(u) \, du = \frac{1}{2} \cdot 5 = \frac{5}{2}.
33 puncte
Adună cele două integrale folosind proprietatea de liniaritate: ∫01[f(2x)+f(2−2x)] dx=∫01f(2x) dx+∫01f(2−2x) dx=52+52\int_{0}^{1} [f(2x) + f(2-2x)] \, dx = \int_{0}^{1} f(2x) \, dx + \int_{0}^{1} f(2-2x) \, dx = \frac{5}{2} + \frac{5}{2}.
41 punct
Obține rezultatul final: ∫01[f(2x)+f(2−2x)] dx=5\int_{0}^{1} [f(2x) + f(2-2x)] \, dx = 5.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.