MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Considerăm mulțimea G={z∈C∣∣z∣=1}G = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \} împreună cu operația de înmulțire a numerelor complexe. Arătați că (G,⋅)(G, \cdot) este un grup. Determinați dacă acest grup este comutativ.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificarea închiderii. Pentru z1,z2∈Gz_1, z_2 \in G, avem ∣z1∣=1|z_1| = 1 și ∣z2∣=1|z_2| = 1. Atunci ∣z1⋅z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣=1⋅1=1|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| = 1 \cdot 1 = 1, deci z1⋅z2∈Gz_1 \cdot z_2 \in G.
23 puncte
Asociativitatea. Înmulțirea numerelor complexe este asociativă, iar această proprietate este moștenită de mulțimea GG.
32 puncte
Elementul neutru. Numărul complex 11 are modul ∣1∣=1|1| = 1, deci 1∈G1 \in G. Pentru orice z∈Gz \in G, z⋅1=zz \cdot 1 = z și 1⋅z=z1 \cdot z = z, deci 11 este elementul neutru.
42 puncte
Simetricul. Pentru orice z∈Gz \in G, ∣z∣=1|z| = 1, deci inversul său este 1z=zˉ\frac{1}{z} = \bar{z} (deoarece pentru ∣z∣=1|z|=1, zˉ=1z\bar{z} = \frac{1}{z}). Avem ∣zˉ∣=∣z∣=1|\bar{z}| = |z| = 1, deci zˉ∈G\bar{z} \in G și z⋅zˉ=1z \cdot \bar{z} = 1.
51 punct
Comutativitatea. Înmulțirea numerelor complexe este comutativă, deci pentru orice z1,z2∈Gz_1, z_2 \in G, z1⋅z2=z2⋅z1z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1, ceea ce arată că grupul este comutativ.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.