MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Un producător de conserve dorește să fabricați cutii cilindrice pentru conserve cu un volum fix de 500 cm3500 \text{ cm}^3. Costul materialului pentru bazele cilindrului este de 0.10.1 lei pe cm2\text{cm}^2, iar pentru suprafața laterală este de 0.050.05 lei pe cm2\text{cm}^2. Determinați raza și înălțimea cilindrului astfel încât costul total al materialului să fie minim. Calculați acest cost minim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Exprimarea costului în funcție de rază. Volumul este V=πr2h=500V = \pi r^2 h = 500, deci h=500πr2h = \frac{500}{\pi r^2}. Costul total CC este suma costurilor pentru baze și suprafața laterală: bazele 2⋅πr2⋅0.1=0.2πr22 \cdot \pi r^2 \cdot 0.1 = 0.2\pi r^2, suprafața laterală 2πr⋅h⋅0.05=0.1πr⋅500πr2=50r2\pi r \cdot h \cdot 0.05 = 0.1\pi r \cdot \frac{500}{\pi r^2} = \frac{50}{r}. Astfel, C(r)=0.2πr2+50rC(r) = 0.2\pi r^2 + \frac{50}{r} pentru r>0r > 0.
24 puncte
Găsirea punctului critic. Se calculează derivata: C′(r)=0.4πr−50r2C'(r) = 0.4\pi r - \frac{50}{r^2}. Se rezolvă C′(r)=0C'(r) = 0: 0.4πr=50r2⇒r3=500.4π=125π⇒r=5π1/30.4\pi r = \frac{50}{r^2} \Rightarrow r^3 = \frac{50}{0.4\pi} = \frac{125}{\pi} \Rightarrow r = \frac{5}{\pi^{1/3}}. Apoi, h=500πr2=500π⋅25π2/3=20π1/3h = \frac{500}{\pi r^2} = \frac{500}{\pi \cdot \frac{25}{\pi^{2/3}}} = \frac{20}{\pi^{1/3}}.
32 puncte
Verificarea că este minim. Se calculează derivata a doua: C′′(r)=0.4π+100r3>0C''(r) = 0.4\pi + \frac{100}{r^3} > 0 pentru r>0r > 0, deci funcția este convexă și punctul critic este minim.
41 punct
Calculul costului minim: C_{\text{\min}} = 0.2\pi \left( \frac{5}{\pi^{1/3}} \right)^2 + \frac{50}{\frac{5}{\pi^{1/3}}} = 0.2\pi \cdot \frac{25}{\pi^{2/3}} + 10\pi^{1/3} = 5\pi^{1/3} + 10\pi^{1/3} = 15\pi^{1/3} lei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.