MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Considerăm mulțimea M={a+b2∣a,b∈Z}M = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \}. Demonstrați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel comutativ cu unitate. Este acesta un corp? Găsiți elementele inversabile în inelul MM.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificarea închiderii față de adunare și înmulțire. Pentru orice x,y∈Mx, y \in M, cu x=a1+b12x = a_1 + b_1\sqrt{2}, y=a2+b22y = a_2 + b_2\sqrt{2}, avem x+y=(a1+a2)+(b1+b2)2∈Mx+y = (a_1+a_2) + (b_1+b_2)\sqrt{2} \in M și x⋅y=(a1a2+2b1b2)+(a1b2+a2b1)2∈Mx \cdot y = (a_1a_2 + 2b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)\sqrt{2} \in M.
23 puncte
Verificarea axiomelor inelului: asociativitatea și comutativitatea adunării, elementul neutru 0=0+020 = 0 + 0\sqrt{2}, elementele simetrice, asociativitatea și comutativitatea înmulțirii (pentru comutativitate, x⋅y=y⋅xx \cdot y = y \cdot x), și distributivitatea. Elementul unitate este 1=1+021 = 1 + 0\sqrt{2}.
32 puncte
Arătarea că inelul nu este corp. Există elemente nenule fără invers, de exemplu 2=2+022 = 2 + 0\sqrt{2}: dacă ar avea invers c+d2∈Mc + d\sqrt{2} \in M, atunci (2)(c+d2)=1(2)(c+d\sqrt{2}) = 1, ceea ce implică 2c+2d2=12c + 2d\sqrt{2} = 1, imposibil pentru c,d∈Zc, d \in \mathbb{Z}.
42 puncte
Determinarea elementelor inversabile. Un element a+b2∈Ma + b\sqrt{2} \in M este inversabil dacă există c+d2∈Mc + d\sqrt{2} \in M astfel încât (a+b2)(c+d2)=1(a + b\sqrt{2})(c + d\sqrt{2}) = 1. Aceasta conduce la sistemul {ac+2bd=1ad+bc=0\begin{cases} a c + 2 b d = 1 \\ a d + b c = 0 \end{cases}. Rezolvând, obținem condiția a2−2b2=±1a^2 - 2b^2 = \pm 1. Deci, elementele inversabile sunt cele pentru care a2−2b2=1a^2 - 2b^2 = 1 sau a2−2b2=−1a^2 - 2b^2 = -1, cu a,b∈Za, b \in \mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.