MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Fie (G,⋅)(G, \cdot) un grup cu elementul neutru ee. Demonstrați că dacă x2=ex^2 = e pentru orice x∈Gx \in G, atunci GG este abelian.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Recunoaștem axiomele grupului: operația ⋅\cdot este asociativă, există element neutru ee, și pentru fiecare x∈Gx \in G există invers x−1x^{-1} astfel încât x⋅x−1=x−1⋅x=ex \cdot x^{-1} = x^{-1} \cdot x = e.
24 puncte
Din condiția x2=ex^2 = e, deducem că x=x−1x = x^{-1} pentru orice x∈Gx \in G. Pentru orice a,b∈Ga, b \in G, avem (ab)2=e(ab)^2 = e, deci abab=eabab = e. Înmulțind la stânga cu a−1a^{-1} și la dreapta cu b−1b^{-1} (folosind a−1=aa^{-1} = a și b−1=bb^{-1} = b), obținem a−1(abab)b−1=a−1eb−1a^{-1}(abab)b^{-1} = a^{-1}eb^{-1}, ceea ce implică ba=abba = ab.
33 puncte
Deoarece ab=baab = ba pentru orice a,b∈Ga, b \in G, grupul GG este abelian.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.