MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorIntegrale definite
a) Demonstrați că pentru orice funcție continuă f:[0,a]→Rf: [0,a] \to \mathbb{R}, unde a>0a > 0, are loc egalitatea ∫0af(x) dx=∫0af(a−x) dx\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx. b) Utilizați această proprietate pentru a calcula ∫0π/2sin⁡xsin⁡x+cos⁡x dx\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Pentru demonstrație, se face schimbarea de variabilă u=a−xu = a - x. Atunci du=−dxdu = -dx, iar limitele devin: când x=0x=0, u=au=a; când x=ax=a, u=0u=0. Avem ∫0af(x) dx=∫a0f(a−u) (−du)=∫0af(a−u) du=∫0af(a−x) dx\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{a}^{0} f(a-u) \, (-du) = \int_{0}^{a} f(a-u) \, du = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx, folosind proprietăți ale integralelor: inversarea limitelor și schimbarea numelui variabilei.
23 puncte
Pentru integrala dată, se notează I=∫0π/2sin⁡xsin⁡x+cos⁡x dxI = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx. Aplicând proprietatea cu a=π/2a = \pi/2 și f(x)=sin⁡xsin⁡x+cos⁡xf(x) = \frac{\sin x}{\sin x + \cos x}, se obține f(π/2−x)=sin⁡(π/2−x)sin⁡(π/2−x)+cos⁡(π/2−x)=cos⁡xcos⁡x+sin⁡xf(\pi/2 - x) = \frac{\sin(\pi/2 - x)}{\sin(\pi/2 - x) + \cos(\pi/2 - x)} = \frac{\cos x}{\cos x + \sin x}. Deci I=∫0π/2cos⁡xcos⁡x+sin⁡x dxI = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} \, dx.
33 puncte
Adunând cele două expresii pentru II: I+I=∫0π/2sin⁡xsin⁡x+cos⁡x dx+∫0π/2cos⁡xcos⁡x+sin⁡x dx=∫0π/2sin⁡x+cos⁡xsin⁡x+cos⁡x dx=∫0π/21 dx=π2I + I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx + \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} \, dx = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} \, dx = \int_{0}^{\pi/2} 1 \, dx = \frac{\pi}{2}. Rezultă 2I=π22I = \frac{\pi}{2}, deci I=π4I = \frac{\pi}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.