MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriNumere Complexe
Considerăm mulțimea G={z∈C∣∣z∣=1}G = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \} cu operația de înmulțire a numerelor complexe. Arătați că (G,⋅)(G, \cdot) este un grup. Apoi, determinați elementele de ordin 2 din acest grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificăm închiderea: pentru orice z1,z2∈Gz_1, z_2 \in G, ∣z1∣=1|z_1| = 1 și ∣z2∣=1|z_2| = 1, atunci ∣z1⋅z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣=1|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| = 1, deci z1⋅z2∈Gz_1 \cdot z_2 \in G.
21 punct
Asociativitatea: înmulțirea numerelor complexe este asociativă.
32 puncte
Elementul neutru: 1∈G1 \in G deoarece ∣1∣=1|1| = 1, și pentru orice z∈Gz \in G, z⋅1=zz \cdot 1 = z.
42 puncte
Inversul: pentru orice z∈Gz \in G, ∣z∣=1|z| = 1, deci z−1=1zz^{-1} = \frac{1}{z} există și ∣z−1∣=1∣z∣=1|z^{-1}| = \frac{1}{|z|} = 1, deci z−1∈Gz^{-1} \in G.
53 puncte
Determinarea elementelor de ordin 2: z∈Gz \in G are ordinul 2 dacă z2=1z^2 = 1 și z≠1z \neq 1. Rezolvăm z2=1z^2 = 1 cu ∣z∣=1|z| = 1. Fie z=cos⁡θ+isin⁡θz = \cos \theta + i \sin \theta, atunci z2=cos⁡2θ+isin⁡2θ=1z^2 = \cos 2\theta + i \sin 2\theta = 1, deci cos⁡2θ=1\cos 2\theta = 1 și sin⁡2θ=0\sin 2\theta = 0, adică 2θ=2kπ2\theta = 2k\pi, deci θ=kπ\theta = k\pi. Pentru k=1k=1, z=−1z = -1, care este element de ordin 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.