MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorPrimitiveContinuitate
Fie f:[0,1]→Rf: [0,1] \to \mathbb{R} o funcție continuă astfel încât ∫01f(x) dx=3\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 3. Calculați ∫01xf(x2) dx\int_{0}^{1} x f(x^2) \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observăm că integrala conține produsul xf(x2)x f(x^2) și considerăm schimbarea de variabilă u=x2u = x^2.
24 puncte
Aplicăm schimbarea: du=2x dxdu = 2x \, dx, deci x dx=12dux \, dx = \frac{1}{2} du. Limitele de integrare: când x=0x=0, u=0u=0; când x=1x=1, u=1u=1. Atunci ∫01xf(x2) dx=∫01f(u)⋅12 du=12∫01f(u) du\int_{0}^{1} x f(x^2) \, dx = \int_{0}^{1} f(u) \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f(u) \, du.
33 puncte
Folosim ipoteza că ∫01f(x) dx=3\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 3, deci 12∫01f(u) du=12⋅3=32\frac{1}{2} \int_{0}^{1} f(u) \, du = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.