MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatriciLegi de compoziție
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} cu operațiile uzuale de adunare și înmulțire a matricelor. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp?

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Definim mulțimea MM și operațiile. Adunarea: (ab0c)+(de0f)=(a+db+e0c+f)\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+d & b+e \\ 0 & c+f \end{pmatrix}. Înmulțirea: (ab0c)⋅(de0f)=(adae+bf0cf)\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ad & ae+bf \\ 0 & cf \end{pmatrix}.
23 puncte
Verificăm închiderea. Pentru orice matrice din MM, suma și produsul sunt matrice de forma (xy0z)\begin{pmatrix} x & y \\ 0 & z \end{pmatrix} cu x,y,z∈Rx,y,z \in \mathbb{R}, deci aparțin lui MM.
33 puncte
Verificăm axiomele inelului. Adunarea este asociativă și comutativă, elementul neutru este (0000)∈M\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in M, fiecare matrice are opusa în MM. Înmulțirea este asociativă și distributivă față de adunare. Înmulțirea matricelor nu este comutativă în general, deci (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este inel necomutativ.
42 puncte
Verificăm dacă este corp. Pentru a fi corp, fiecare element nenul trebuie să aibă invers multiplicativ în MM. Considerăm matricea (0100)∈M\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in M, care este nenulă. Determinantul ei este 00, deci nu are inversă. Astfel, MM nu este corp.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.