MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilorEcuații logaritmice
Determinați valorile reale ale lui xx pentru care expresia log⁡x2−4(3x−6)\log_{x^2 - 4}(3x - 6) este definită, și apoi rezolvați ecuația log⁡x2−4(3x−6)=12\log_{x^2 - 4}(3x - 6) = \frac{1}{2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Determinați domeniul de definiție. Pentru log⁡ab\log_a b, avem a>0,a≠1a>0, a\neq 1, și b>0b>0. Deci: x2−4>0x^2 - 4 > 0 dă x∈(−∞,−2)∪(2,∞)x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty); x2−4≠1x^2 - 4 \neq 1 dă x2≠5x^2 \neq 5, deci x≠±5x \neq \pm\sqrt{5}; 3x−6>03x - 6 > 0 dă x>2x > 2. Combinând, domeniul este x∈(2,∞)∖{5}x \in (2, \infty) \setminus \{ \sqrt{5} \}. \
22 puncte
Scrieți ecuația log⁡x2−4(3x−6)=12\log_{x^2 - 4}(3x - 6) = \frac{1}{2}. Aceasta este echivalentă cu (x2−4)1/2=3x−6(x^2 - 4)^{1/2} = 3x - 6, adică x2−4=3x−6\sqrt{x^2 - 4} = 3x - 6, cu condiția x2−4≥0\sqrt{x^2 - 4} \geq 0 (adevărat pe domeniu) și 3x−6≥03x - 6 \geq 0 (adevărat pentru x>2x>2). \
32 puncte
Rezolvați ecuația: x2−4=3x−6\sqrt{x^2 - 4} = 3x - 6. Ridicați la pătrat: x2−4=(3x−6)2=9x2−36x+36x^2 - 4 = (3x - 6)^2 = 9x^2 - 36x + 36, deci x2−4=9x2−36x+36x^2 - 4 = 9x^2 - 36x + 36, adică 8x2−36x+40=08x^2 - 36x + 40 = 0, simplificați cu 4: 2x2−9x+10=02x^2 - 9x + 10 = 0. \
42 puncte
Rezolvați ecuația pătratică: 2x2−9x+10=02x^2 - 9x + 10 = 0, discriminantul Δ=81−80=1\Delta = 81 - 80 = 1, deci x=9±14x = \frac{9 \pm 1}{4}, adică x=104=52x = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} sau x=84=2x = \frac{8}{4} = 2. Verificați în domeniu: x=2x=2 nu este în domeniu (x>2x>2), iar x=52=2.5x=\frac{5}{2} = 2.5 este în domeniu și nu este 5≈2.236\sqrt{5} \approx 2.236, deci este validă. Soluția finală: x=52x = \frac{5}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.