MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriMatriciDeterminanți
Fie M={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Arătați că (M,⋅)(M, \cdot) este un grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor. Calculați ordinul elementului A=(0−110)A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} în acest grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificăm închiderea: Pentru orice A,B∈MA, B \in M, det⁡(AB)=det⁡(A)det⁡(B)=1⋅1=1\det(AB) = \det(A)\det(B) = 1 \cdot 1 = 1, deci AB∈MAB \in M.
21 punct
Asociativitatea este moștenită de la înmulțirea matricelor.
31 punct
Elementul neutru este matricea identitate I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, cu det⁡(I2)=1\det(I_2) = 1.
42 puncte
Pentru orice A∈MA \in M, det⁡(A)=1\det(A) = 1, deci inversa A−1A^{-1} există și det⁡(A−1)=1/det⁡(A)=1\det(A^{-1}) = 1/\det(A) = 1, deci A−1∈MA^{-1} \in M.
54 puncte
Calculăm puterile lui AA: A2=(−100−1)A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, A3=(01−10)A^3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, A4=(1001)=I2A^4 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2. Deci ordinul lui AA este 4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.