MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Calculați aria regiunii mărginite de graficele funcțiilor f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x și g(x)=−x2+4g(x) = -x^2 + 4.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se găsesc punctele de intersecție ale graficelor rezolvând ecuația f(x)=g(x)f(x) = g(x), adică x2−2x=−x2+4x^2 - 2x = -x^2 + 4. Se obține 2x2−2x−4=02x^2 - 2x - 4 = 0, deci x2−x−2=0x^2 - x - 2 = 0, cu soluțiile x1=−1x_1 = -1 și x2=2x_2 = 2.
22 puncte
Pe intervalul [−1,2][-1,2], se determină care funcție este mai mare. Pentru x=0x=0, f(0)=0f(0)=0, g(0)=4g(0)=4, deci g(x)>f(x)g(x) > f(x) pe [−1,2][-1,2]. Aria este dată de ∫−12(g(x)−f(x)) dx\int_{-1}^{2} (g(x) - f(x)) \, dx.
32 puncte
Se scrie integrala: ∫−12[(−x2+4)−(x2−2x)] dx=∫−12(−2x2+2x+4) dx\int_{-1}^{2} [(-x^2 + 4) - (x^2 - 2x)] \, dx = \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) \, dx.
44 puncte
Se calculează integrala: ∫−12(−2x2+2x+4) dx=[−23x3+x2+4x]−12\int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) \, dx = \left[ -\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x \right]_{-1}^{2}. Evaluând: pentru x=2x=2: −23(8)+4+8=−163+12=203-\frac{2}{3}(8) + 4 + 8 = -\frac{16}{3} + 12 = \frac{20}{3}; pentru x=−1x=-1: −23(−1)+1−4=23−3=−73-\frac{2}{3}(-1) + 1 - 4 = \frac{2}{3} - 3 = -\frac{7}{3}. Diferența: 203−(−73)=273=9\frac{20}{3} - (-\frac{7}{3}) = \frac{27}{3} = 9. Deci aria este 9 unități pătrate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.