MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameDerivateStudiul funcțiilor
Fie polinomul P(x)=x3−6x2+9x+kP(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui kk pentru care ecuația P(x)=0P(x) = 0 are trei rădăcini reale distincte.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculăm derivata polinomului: P′(x)=3x2−12x+9P'(x) = 3x^2 -12x+9.
22 puncte
Rezolvăm P′(x)=0P'(x)=0: 3(x2−4x+3)=03(x^2-4x+3)=0, deci x=1x=1 și x=3x=3 sunt puncte critice.
32 puncte
Studiem semnul derivatei: P′(x)>0P'(x) > 0 pentru x<1x<1 și x>3x>3, P′(x)<0P'(x) < 0 pentru 1<x<31<x<3, deci P(x)P(x) este crescătoare pe (−∞,1)(-\infty,1) și (3,∞)(3,\infty), descrescătoare pe (1,3)(1,3).
42 puncte
Calculăm valorile polinomului în punctele critice: P(1)=1−6+9+k=4+kP(1)=1-6+9+k=4+k, P(3)=27−54+27+k=kP(3)=27-54+27+k=k.
52 puncte
Pentru ca ecuația P(x)=0P(x)=0 să aibă trei rădăcini reale distincte, este necesar ca P(1)>0P(1) > 0 și P(3)<0P(3) < 0, deci 4+k>04+k > 0 și k<0k < 0, adică −4<k<0-4 < k < 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.