MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 11

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un anumit produs. Costul total de producție pentru xx unități este dat de funcția C(x)=x2−60x+2000C(x) = x^2 - 60x + 2000 (în mii de lei), iar venitul total din vânzarea a xx unități este V(x)=100x−x2V(x) = 100x - x^2 (în mii de lei). Determinați numărul de unități care trebuie produse pentru ca profitul să fie maxim, și calculați acest profit maxim. Verificați dacă există puncte de echilibru (unde costul este egal cu venitul) și interpretați rezultatele în context economic.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Profitul este definit ca P(x)=V(x)−C(x)P(x) = V(x) - C(x). Înlocuind: P(x)=(100x−x2)−(x2−60x+2000)=100x−x2−x2+60x−2000=−2x2+160x−2000P(x) = (100x - x^2) - (x^2 - 60x + 2000) = 100x - x^2 - x^2 + 60x - 2000 = -2x^2 + 160x - 2000.\
23 puncte
Funcția P(x)P(x) este o parabolă cu ramurile în jos (a=−2<0a = -2 < 0), deci are un maxim. Abscisa vârfului: xv=−b2a=−1602⋅(−2)=40x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{160}{2 \cdot (-2)} = 40. Profitul maxim: P(40)=−2⋅402+160⋅40−2000=−3200+6400−2000=1200P(40) = -2 \cdot 40^2 + 160 \cdot 40 - 2000 = -3200 + 6400 - 2000 = 1200 (mii de lei).\
33 puncte
Punctele de echilibru se obțin din C(x)=V(x)C(x) = V(x): x2−60x+2000=100x−x2  ⟹  2x2−160x+2000=0  ⟹  x2−80x+1000=0x^2 - 60x + 2000 = 100x - x^2 \implies 2x^2 - 160x + 2000 = 0 \implies x^2 - 80x + 1000 = 0. Discriminantul: Δ=6400−4000=2400\Delta = 6400 - 4000 = 2400, deci x=40±106x = 40 \pm 10\sqrt{6}. Interpretare: pentru x<40−106x < 40 - 10\sqrt{6} sau x>40+106x > 40 + 10\sqrt{6}, firma înregistrează pierderi (P(x)<0P(x) < 0); pentru xx între aceste valori, profitul este pozitiv.\
42 puncte
Concluzie: producția optimă este de 40 unități, care aduce un profit maxim de 1200 mii lei. Punctele de echilibru indică intervalul de producție profitabilă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.