MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 10

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+mx+nf(x) = x^2 + mx + n. Știind că punctul V(2,−2)V(2,-2) este vârful parabolei reprezentative a funcției, iar dreapta de ecuație y=2x−7y = 2x - 7 este tangentă la parabolă, determinați mm și nn. Apoi, calculați aria triunghiului având vârfurile în punctul de tangență, vârful parabolei și punctul de intersecție al dreptei cu axa OyOy.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Din coordonatele vârfului, xV=−m2=2⇒m=−4x_V = -\frac{m}{2} = 2 \Rightarrow m = -4. Atunci yV=f(2)=4+2m+n=4−8+n=−4+n=−2⇒n=2y_V = f(2) = 4 + 2m + n = 4 - 8 + n = -4 + n = -2 \Rightarrow n = 2. Deci funcția este f(x)=x2−4x+2f(x) = x^2 - 4x + 2.
23 puncte
Dreapta y=2x−7y=2x-7 este tangentă la parabolă dacă sistemul {y=x2−4x+2y=2x−7\begin{cases} y = x^2 - 4x + 2 \\ y = 2x - 7 \end{cases} are soluție unică. Echivalăm: x2−4x+2=2x−7⇒x2−6x+9=0⇒(x−3)2=0x^2 - 4x + 2 = 2x - 7 \Rightarrow x^2 - 6x + 9 = 0 \Rightarrow (x-3)^2 = 0, deci x=3x=3 este punctul de tangență. Atunci y=2⋅3−7=−1y=2 \cdot 3 - 7 = -1, deci punctul de tangență este T(3,−1)T(3,-1).
33 puncte
Punctul de intersecție al dreptei cu axa OyOy: pentru x=0x=0, y=2⋅0−7=−7y=2 \cdot 0 - 7 = -7, deci punctul A(0,−7)A(0,-7). Triunghiul cu vârfurile T(3,−1)T(3,-1), V(2,−2)V(2,-2), A(0,−7)A(0,-7). Aria se calculează cu formula: Aria=12∣xT(yV−yA)+xV(yA−yT)+xA(yT−yV)∣=12∣3(−2−(−7))+2(−7−(−1))+0(−1−(−2))∣=12∣3⋅5+2⋅(−6)+0∣=12∣15−12∣=12⋅3=32Aria = \frac{1}{2} |x_T(y_V - y_A) + x_V(y_A - y_T) + x_A(y_T - y_V)| = \frac{1}{2} |3(-2 - (-7)) + 2(-7 - (-1)) + 0(-1 - (-2))| = \frac{1}{2} |3 \cdot 5 + 2 \cdot (-6) + 0| = \frac{1}{2} |15 - 12| = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.