MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorIntegrale definiteTrigonometrie
Demonstrați că pentru orice funcție continuă f:[0,a]→Rf: [0,a] \to \mathbb{R}, are loc egalitatea ∫0af(x)dx=∫0af(a−x)dx\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx. Apoi, utilizați această proprietate pentru a calcula ∫0π/2sin⁡xsin⁡x+cos⁡xdx\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Demonstrați egalitatea prin substituția t=a−xt = a-x. Atunci dx=−dtdx = -dt, limitele devin: când x=0x=0, t=at=a; când x=ax=a, t=0t=0. Deci ∫0af(x)dx=∫a0f(a−t)(−dt)=∫0af(a−t)dt=∫0af(a−x)dx\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{a}^{0} f(a-t) (-dt) = \int_{0}^{a} f(a-t) dt = \int_{0}^{a} f(a-x) dx.
23 puncte
Pentru integrala dată, notați I=∫0π/2sin⁡xsin⁡x+cos⁡xdxI = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} dx. Aplicând proprietatea cu a=π/2a=\pi/2, obținem I=∫0π/2sin⁡(π/2−x)sin⁡(π/2−x)+cos⁡(π/2−x)dx=∫0π/2cos⁡xcos⁡x+sin⁡xdxI = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin(\pi/2 - x)}{\sin(\pi/2 - x) + \cos(\pi/2 - x)} dx = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} dx.
33 puncte
Adunați cele două expresii pentru II: 2I=∫0π/2(sin⁡xsin⁡x+cos⁡x+cos⁡xcos⁡x+sin⁡x)dx=∫0π/2sin⁡x+cos⁡xsin⁡x+cos⁡xdx=∫0π/21dx=π22I = \int_{0}^{\pi/2} \left( \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} + \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} \right) dx = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} dx = \int_{0}^{\pi/2} 1 dx = \frac{\pi}{2}. Deci I=π4I = \frac{\pi}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.