MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorIntegrale definiteTrigonometrie
Calculați integrala I=∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdxI = \int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx folosind proprietăți ale integralelor definite.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Aplicați proprietatea ∫0af(x)dx=∫0af(a−x)dx\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx pentru a=πa=\pi și obțineți I=∫0π(π−x)sin⁡x1+cos⁡2xdxI = \int_0^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin x}{1 + \cos^2 x} dx.
22 puncte
Adunați cele două expresii pentru II: 2I=∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx+∫0π(π−x)sin⁡x1+cos⁡2xdx=π∫0πsin⁡x1+cos⁡2xdx2I = \int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx + \int_0^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \pi \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx.
33 puncte
Pentru a calcula J=∫0πsin⁡x1+cos⁡2xdxJ = \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx, folosiți substituția u=cos⁡xu = \cos x, du=−sin⁡xdxdu = -\sin x dx, deci J=∫1−1−du1+u2=∫−11du1+u2J = \int_{1}^{-1} \frac{-du}{1+u^2} = \int_{-1}^{1} \frac{du}{1+u^2}.
43 puncte
Calculați ∫−11du1+u2=[arctan⁡u]−11=π4−(−π4)=π2\int_{-1}^{1} \frac{du}{1+u^2} = [\arctan u]_{-1}^{1} = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}, deci J=π2J = \frac{\pi}{2} și 2I=π⋅π2=π222I = \pi \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{2}, așadar I=π24I = \frac{\pi^2}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.