MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriPolinoame
Se consideră inelul Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] al polinoamelor cu coeficienți în corpul Z3\mathbb{Z}_3. a) Determinați toate elementele inversabile din acest inel. b) Arătați că polinomul f(x)=x2+1f(x)=x^2+1 este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3. c) Construiți corpul Z3[x]/(x2+1)\mathbb{Z}_3[x]/(x^2+1) și determinați numărul de elemente ale acestui corp.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Elementele inversabile din Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] sunt polinoamele constante nenule. Deoarece Z3\mathbb{Z}_3 este corp, polinoamele de grad 0 diferite de 0 sunt inversabile. În Z3\mathbb{Z}_3, elementele nenule sunt 11 și 22, deci polinoamele 11 și 22 sunt inversabile.
24 puncte
Pentru a arăta că f(x)=x2+1f(x)=x^2+1 este ireductibil, verificăm că nu are rădăcini în Z3\mathbb{Z}_3. Calculăm f(0)=1f(0)=1, f(1)=12+1=2f(1)=1^2+1=2, f(2)=22+1=4+1=5≡2mod  3f(2)=2^2+1=4+1=5 \equiv 2 \mod 3. Toate valorile sunt nenule, deci ff nu are rădăcini. Cum gradul său este 2, rezultă că este ireductibil.
33 puncte
Corpul Z3[x]/(x2+1)\mathbb{Z}_3[x]/(x^2+1) este o extensie a corpului Z3\mathbb{Z}_3 obținută prin adăugarea unei rădăcini α\alpha a ecuației x2+1=0x^2+1=0. Elementele sunt de forma a+bαa+b\alpha cu a,b∈Z3a,b \in \mathbb{Z}_3. Deoarece există 3 alegeri pentru aa și 3 pentru bb, corpul are 3×3=93 \times 3 = 9 elemente.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.