MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameSisteme de Ecuații LiniareIdentități algebrice
Fie polinomul P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c. Se știe că P(1)=2P(1)=2, P(2)=4P(2)=4, P(3)=6P(3)=6. Determinați coeficienții a,b,ca, b, c și apoi calculați x12+x22+x32x_1^2 + x_2^2 + x_3^2, unde x1,x2,x3x_1, x_2, x_3 sunt rădăcinile polinomului.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Din condițiile date, obținem sistemul de ecuații: P(1)=1+a+b+c=2P(1)=1 + a + b + c = 2, P(2)=8+4a+2b+c=4P(2)=8 + 4a + 2b + c = 4, P(3)=27+9a+3b+c=6P(3)=27 + 9a + 3b + c = 6.
23 puncte
Rezolvăm sistemul. Scădem prima ecuație din a doua: (8+4a+2b+c)−(1+a+b+c)=4−2⇒7+3a+b=2⇒3a+b=−5(8+4a+2b+c) - (1+a+b+c) = 4-2 \Rightarrow 7+3a+b=2 \Rightarrow 3a+b=-5. Scădem a doua ecuație din a treia: (27+9a+3b+c)−(8+4a+2b+c)=6−4⇒19+5a+b=2⇒5a+b=−17(27+9a+3b+c) - (8+4a+2b+c)=6-4 \Rightarrow 19+5a+b=2 \Rightarrow 5a+b=-17. Rezolvăm: (5a+b)−(3a+b)=−17−(−5)⇒2a=−12⇒a=−6(5a+b)-(3a+b)=-17-(-5) \Rightarrow 2a=-12 \Rightarrow a=-6. Atunci 3(−6)+b=−5⇒b=133(-6)+b=-5 \Rightarrow b=13. Din prima ecuație: 1−6+13+c=2⇒c=−61-6+13+c=2 \Rightarrow c=-6.
32 puncte
Polinomul este P(x)=x3−6x2+13x−6P(x)=x^3 -6x^2+13x-6. Folosind relațiile lui Viète: x1+x2+x3=6x_1+x_2+x_3=6, x1x2+x1x3+x2x3=13x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=13. Suma pătratelor rădăcinilor este x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3)x_1^2+x_2^2+x_3^2 = (x_1+x_2+x_3)^2 - 2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3).
42 puncte
Calculăm: x12+x22+x32=62−2⋅13=36−26=10x_1^2+x_2^2+x_3^2 = 6^2 - 2\cdot13 = 36 - 26 = 10.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.