MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeIdentități algebrice
Fie polinomul P(x)=x4+2x3+3x2+2x+1P(x) = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1. Se știe că P(i)=0P(i) = 0, unde ii este unitatea imaginară. a) Arătați că P(x)P(x) se divide cu x2+1x^2 + 1. b) Determinați toate rădăcinile complexe ale polinomului P(x)P(x). c) Calculați suma pătratelor modulelor rădăcinilor polinomului P(x)P(x).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Deoarece P(i)=0P(i)=0 și coeficienții sunt reali, avem și P(−i)=0P(-i)=0. Atunci x−ix-i și x+ix+i divid P(x)P(x), deci x2+1x^2+1 divide P(x)P(x).
24 puncte
Efectuăm împărțirea: P(x)=(x2+1)(x2+2x+1)P(x) = (x^2+1)(x^2+2x+1). Rezolvăm x2+2x+1=0x^2+2x+1=0, obținând x=−1x=-1 dublu. Rădăcinile sunt x1=ix_1=i, x2=−ix_2=-i, x3=x4=−1x_3=x_4=-1.
33 puncte
Modulele: ∣i∣=1|i|=1, ∣−i∣=1|-i|=1, ∣−1∣=1|-1|=1. Suma pătratelor: 12+12+12+12=41^2+1^2+1^2+1^2=4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.