MediuDomeniul de definiție al funcțiilorClasa 10

Problemă rezolvată de Domeniul de definiție al funcțiilor

MediuDomeniul de definiție al funcțiilorFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră funcția g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=1x2−ax+bg(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - a x + b}}, unde a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Determinați domeniul de definiție al funcției gg în funcție de parametrii aa și bb.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Condiția pentru definire: x2−ax+b>0x^2 - a x + b > 0, deoarece numitorul nu poate fi zero și expresia de sub radical trebuie să fie pozitivă.
23 puncte
Studiem inegalitatea x2−ax+b>0x^2 - a x + b > 0. Calculăm discriminantul Δ=a2−4b\Delta = a^2 - 4b.
  • Dacă Δ<0\Delta < 0, atunci x2−ax+b>0x^2 - a x + b > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, deci Dg=RD_g = \mathbb{R}.
  • Dacă Δ=0\Delta = 0, atunci x2−ax+b=(x−a2)2≥0x^2 - a x + b = (x - \frac{a}{2})^2 \geq 0, dar trebuie >0> 0, deci x≠a2x \neq \frac{a}{2}; Dg=R∖{a2}D_g = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{a}{2} \}.
  • Dacă Δ>0\Delta > 0, atunci ecuația are rădăcini reale x1=a−Δ2x_1 = \frac{a - \sqrt{\Delta}}{2}, x2=a+Δ2x_2 = \frac{a + \sqrt{\Delta}}{2} cu x1<x2x_1 < x_2, și inegalitatea este satisfăcută pentru x∈(−∞,x1)∪(x2,∞)x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, \infty).
33 puncte
Exprimăm domeniul explicit:
  • Pentru Δ<0\Delta < 0: Dg=RD_g = \mathbb{R}.
  • Pentru Δ=0\Delta = 0: Dg=(−∞,a2)∪(a2,∞)D_g = (-\infty, \frac{a}{2}) \cup (\frac{a}{2}, \infty).
  • Pentru Δ>0\Delta > 0: Dg=(−∞,a−a2−4b2)∪(a+a2−4b2,∞)D_g = (-\infty, \frac{a - \sqrt{a^2 - 4b}}{2}) \cup (\frac{a + \sqrt{a^2 - 4b}}{2}, \infty).
42 puncte
Concluzie: domeniul este determinat de semnul lui Δ=a2−4b\Delta = a^2 - 4b, cu cazurile de mai sus.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Domeniul de definiție al funcțiilor

Ușor#1Domeniul de definiție al funcțiilorFuncția de gradul al II-lea
Determinați domeniul de definiție al funcției y=2x−x2y = \sqrt{2x - x^2}.
Mediu#2Domeniul de definiție al funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Determinați domeniul de definiție al funcției y=x−x+1y = \sqrt{x - \sqrt{x + 1}}.
Mediu#3Domeniul de definiție al funcțiilorEcuații iraționale
Determinați domeniul de definiție al funcției y=x−1+6−xy = \sqrt{x - 1 + \sqrt{6 - x}}.
Ușor#4Domeniul de definiție al funcțiilorFuncția de gradul al II-lea
Determinați domeniul de definiție al funcției y=x2−5x+6y = \sqrt{x^2 - 5x + 6}.
Vezi toate problemele de Domeniul de definiție al funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Domeniul de definiție al funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.