MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameIdentități algebrice
Se dă polinomul P(x)=x4+ax3+bx2+cx+dP(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d. Știind că P(x)P(x) se divide cu (x−1)2(x-1)^2 și cu (x+1)2(x+1)^2, să se determine coeficienții a,b,c,da, b, c, d.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Folosim teorema restului. Dacă P(x)P(x) se divide cu (x−1)2(x-1)^2, atunci P(1)=0P(1)=0 și P′(1)=0P'(1)=0. Similar, pentru (x+1)2(x+1)^2, avem P(−1)=0P(-1)=0 și P′(−1)=0P'(-1)=0.
24 puncte
Calculăm P(1)=1+a+b+c+d=0P(1) = 1 + a + b + c + d = 0, P′(x)=4x3+3ax2+2bx+cP'(x) = 4x^3 + 3ax^2 + 2bx + c, deci P′(1)=4+3a+2b+c=0P'(1) = 4 + 3a + 2b + c = 0. Pentru x=−1x=-1: P(−1)=1−a+b−c+d=0P(-1) = 1 - a + b - c + d = 0, P′(−1)=−4+3a−2b+c=0P'(-1) = -4 + 3a - 2b + c = 0.
32 puncte
Rezolvăm sistemul de ecuații. Din P(1)=0P(1)=0 și P(−1)=0P(-1)=0, adunând, obținem 2+2b+2d=0⇒b+d=−12 + 2b + 2d = 0 \Rightarrow b + d = -1. Scăzând, obținem 2a+2c=0⇒a+c=02a + 2c = 0 \Rightarrow a + c = 0. Din P′(1)=0P'(1)=0 și P′(−1)=0P'(-1)=0, adunând, obținem 0+6a+0+2c=0⇒3a+c=00 + 6a + 0 + 2c = 0 \Rightarrow 3a + c = 0. Scăzând, obținem 8+0+4b+0=0⇒b=−28 + 0 + 4b + 0 = 0 \Rightarrow b = -2. Atunci din b+d=−1b + d = -1, avem d=1d = 1. Din a+c=0a + c = 0 și 3a+c=03a + c = 0, scăzând, avem 2a=0⇒a=02a = 0 \Rightarrow a = 0, deci c=0c = 0. Verificăm în ecuații: toate satisfăcute. Astfel, a=0a=0, b=−2b=-2, c=0c=0, d=1d=1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.