MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Fie polinomul P(x)=x4−2x3+3x2−2x+2P(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 2 cu coeficienți reali. Știind că 1+i1+i este rădăcină a polinomului, determinați toate rădăcinile și descompuneți polinomul în factori ireductibili peste R\mathbb{R} și C\mathbb{C}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali, conjugata 1−i1-i este și ea rădăcină. Astfel, (x−(1+i))(x−(1−i))=x2−2x+2(x - (1+i))(x - (1-i)) = x^2 - 2x + 2 divide polinomul.
23 puncte
Efectuați împărțirea polinomului P(x)P(x) la x2−2x+2x^2 - 2x + 2 pentru a obține câtul Q(x)=x2+1Q(x) = x^2 + 1.
33 puncte
Rezolvați ecuația Q(x)=0Q(x)=0 pentru a găsi celelalte rădăcini; se obține x=ix = i și x=−ix = -i.
42 puncte
Scrieți descompunerea: peste R\mathbb{R}: P(x)=(x2−2x+2)(x2+1)P(x) = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 1), iar peste C\mathbb{C}: P(x)=(x−(1+i))(x−(1−i))(x−i)(x+i)P(x) = (x - (1+i))(x - (1-i))(x - i)(x + i).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.