MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceSisteme de Ecuații Neliniare
Rezolvați în mulțimea numerelor reale sistemul: {log⁡2(x+y)−log⁡2(x−y)=2x2−y2=16\begin{cases} \log_2(x+y) - \log_2(x-y) = 2 \\ x^2 - y^2 = 16 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Aplicăm proprietatea logaritmilor: log⁡2x+yx−y=2\log_2 \frac{x+y}{x-y} = 2. De aici, x+yx−y=22=4\frac{x+y}{x-y} = 2^2 = 4. Condiții de existență: x+y>0x+y > 0 și x−y>0x-y > 0.
23 puncte
Din x+yx−y=4\frac{x+y}{x-y} = 4, obținem x+y=4(x−y)x+y = 4(x-y), deci x+y=4x−4yx+y = 4x - 4y, adică 3x−5y=03x - 5y = 0.
33 puncte
Folosim a doua ecuație: x2−y2=16x^2 - y^2 = 16. Din 3x−5y=03x - 5y = 0, avem x=5y3x = \frac{5y}{3}. Înlocuim: (5y3)2−y2=16\left(\frac{5y}{3}\right)^2 - y^2 = 16, deci 25y29−y2=16\frac{25y^2}{9} - y^2 = 16, 16y29=16\frac{16y^2}{9} = 16, deci y2=9y^2 = 9, y=±3y = \pm 3. Din condițiile x+y>0x+y>0 și x−y>0x-y>0, pentru y=3y=3, x=5x=5 (verifică), pentru y=−3y=-3, x=−5x=-5 (nu verifică condițiile).
42 puncte
Verificăm soluția (5,3)(5,3) în sistemul inițial: log⁡2(8)−log⁡2(2)=3−1=2\log_2(8) - \log_2(2) = 3 - 1 = 2, și 25−9=1625 - 9 = 16. Soluția este (5,3)(5,3).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.