MediuDomeniul de definiție al funcțiilorClasa 10

Problemă rezolvată de Domeniul de definiție al funcțiilor

MediuDomeniul de definiție al funcțiilorLogaritmiEcuații iraționale
Să se determine domeniul de definiție al funcției f(x)=ln⁡(x2−1)+4−x2f(x) = \ln(x^2 - 1) + \sqrt{4 - x^2} și să se rezolve ecuația f(x)=ln⁡(3)f(x) = \ln(3).

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Se impun condițiile de existență: x2−1>0x^2 - 1 > 0 pentru logaritm și 4−x2≥04 - x^2 \geq 0 pentru radical. Se rezolvă inecuațiile: x2−1>0⇒x∈(−∞,−1)∪(1,∞)x^2 - 1 > 0 \Rightarrow x \in (-\infty,-1) \cup (1,\infty); 4−x2≥0⇒x∈[−2,2]4 - x^2 \geq 0 \Rightarrow x \in [-2,2]. Intersecția dă domeniul D=[−2,−1)∪(1,2]D = [-2,-1) \cup (1,2].
26 puncte
Se scrie ecuația ln⁡(x2−1)+4−x2=ln⁡(3)\ln(x^2 - 1) + \sqrt{4 - x^2} = \ln(3). Se notează t=4−x2≥0t = \sqrt{4 - x^2} \geq 0, atunci x2=4−t2x^2 = 4 - t^2 și x2−1=3−t2x^2 - 1 = 3 - t^2. Ecuația devine ln⁡(3−t2)+t=ln⁡(3)\ln(3 - t^2) + t = \ln(3). Se observă că t=0t=0 verifică ecuația, deci 4−x2=0⇒x=±2\sqrt{4 - x^2}=0 \Rightarrow x = \pm 2. Se arată că nu există alte soluții, de exemplu analizând semnul sau folosind proprietăți de monotonie, deci soluțiile sunt x=−2x = -2 și x=2x = 2, ambele în domeniul DD.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Domeniul de definiție al funcțiilor

Ușor#1Domeniul de definiție al funcțiilorFuncția de gradul al II-lea
Determinați domeniul de definiție al funcției y=2x−x2y = \sqrt{2x - x^2}.
Mediu#2Domeniul de definiție al funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Determinați domeniul de definiție al funcției y=x−x+1y = \sqrt{x - \sqrt{x + 1}}.
Mediu#3Domeniul de definiție al funcțiilorEcuații iraționale
Determinați domeniul de definiție al funcției y=x−1+6−xy = \sqrt{x - 1 + \sqrt{6 - x}}.
Ușor#4Domeniul de definiție al funcțiilorFuncția de gradul al II-lea
Determinați domeniul de definiție al funcției y=x2−5x+6y = \sqrt{x^2 - 5x + 6}.
Vezi toate problemele de Domeniul de definiție al funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Domeniul de definiție al funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.