MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorIntegrale definiteTrigonometrie
Demonstrați că pentru orice funcție continuă f:[a,b]→Rf: [a,b] \to \mathbb{R}, are loc egalitatea ∫abf(x) dx=∫abf(a+b−x) dx\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx. Aplicați această proprietate pentru a calcula ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2x dx\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Demonstrația proprietății: fie schimbarea de variabilă t=a+b−xt = a+b-x, atunci dx=−dtdx = -dt, iar limitele devin de la bb la aa, astfel ∫abf(a+b−x) dx=−∫baf(t) dt=∫abf(t) dt\int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(t) \, dt = \int_{a}^{b} f(t) \, dt, deci egalitatea este demonstrată.
23 puncte
Notăm I=∫0πxsin⁡x1+cos⁡2x dxI = \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} \, dx. Aplicând proprietatea cu a=0a=0, b=πb=\pi, avem I=∫0π(π−x)sin⁡(π−x)1+cos⁡2(π−x) dxI = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin(\pi - x)}{1+\cos^2(\pi - x)} \, dx.
32 puncte
Simplificare: sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x și cos⁡(π−x)=−cos⁡x\cos(\pi - x) = -\cos x, deci cos⁡2(π−x)=cos⁡2x\cos^2(\pi - x) = \cos^2 x. Atunci I=∫0π(π−x)sin⁡x1+cos⁡2x dxI = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin x}{1+\cos^2 x} \, dx.
42 puncte
Adunând cele două expresii pentru II, obținem 2I=π∫0πsin⁡x1+cos⁡2x dx2I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} \, dx. Calculăm această integrală prin schimbarea u=cos⁡xu = \cos x, du=−sin⁡x dxdu = -\sin x \, dx, deci ∫0πsin⁡x1+cos⁡2x dx=∫1−1−du1+u2=∫−11du1+u2=[arctan⁡u]−11=π4−(−π4)=π2\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} \, dx = \int_{1}^{-1} \frac{-du}{1+u^2} = \int_{-1}^{1} \frac{du}{1+u^2} = [\arctan u]_{-1}^{1} = \frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{2}. Astfel, 2I=π⋅π2=π222I = \pi \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{2}, de unde I=π24I = \frac{\pi^2}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.