MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriPolinoameAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie Zp\mathbb{Z}_p inelul claselor de resturi modulo pp, cu pp număr prim. Demonstrați că Zp\mathbb{Z}_p este un corp. Apoi, considerați polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Zp\mathbb{Z}_p și determinați pentru ce valori ale lui pp acest polinom are rădăcini în Zp\mathbb{Z}_p.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Demonstrarea că Zp\mathbb{Z}_p este inel comutativ cu unitate: verificarea axiomelor inelului pentru adunarea și înmulțirea modulo pp, cu elementul unitate 1ˉ\bar{1}.
23 puncte
Demonstrarea că fiecare element nenul aˉ∈Zp\bar{a} \in \mathbb{Z}_p are invers: folosirea faptului că pp este prim și gcd⁡(a,p)=1\gcd(a, p) = 1, deci există bb astfel încât ab≡1(modp)ab \equiv 1 \pmod{p}, deci Zp\mathbb{Z}_p este corp.
32 puncte
Scrierea condiției ca x2+1=0x^2 + 1 = 0 în Zp\mathbb{Z}_p, adică x2≡−1(modp)x^2 \equiv -1 \pmod{p}.
42 puncte
Determinarea valorilor lui pp: ecuația are soluții dacă −1-1 este rest pătratic modulo pp, adică pentru p=2p = 2 (deoarece 02+1=1≠00^2 + 1 = 1 \neq 0 și 12+1=2≡0(mod2)1^2 + 1 = 2 \equiv 0 \pmod{2}) și pentru p≡1(mod4)p \equiv 1 \pmod{4} conform criteriului lui Euler, de exemplu p=5,13,…p = 5, 13, \dots.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.