MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorPolinoameAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c. Știind că ∫−11f(x)dx=2\int_{-1}^{1} f(x) dx = 2, ∫02f(x)dx=4\int_{0}^{2} f(x) dx = 4 și f(1)=0f(1) = 0, determinați coeficienții reali a,b,ca, b, c.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scrieți integrala ∫−11f(x)dx\int_{-1}^{1} f(x) dx folosind liniaritatea și calculați-o în funcție de a,b,ca, b, c. ∫−11f(x)dx=∫−11(x3+ax2+bx+c)dx=∫−11x3dx+a∫−11x2dx+b∫−11xdx+c∫−11dx\int_{-1}^{1} f(x) dx = \int_{-1}^{1} (x^3 + ax^2 + bx + c) dx = \int_{-1}^{1} x^3 dx + a \int_{-1}^{1} x^2 dx + b \int_{-1}^{1} x dx + c \int_{-1}^{1} dx. Deoarece x3x^3 și xx sunt funcții impare, integralele pe [−1,1][-1,1] sunt 0, deci ∫−11x3dx=0\int_{-1}^{1} x^3 dx = 0, ∫−11xdx=0\int_{-1}^{1} x dx = 0. ∫−11x2dx=23\int_{-1}^{1} x^2 dx = \frac{2}{3} și ∫−11dx=2\int_{-1}^{1} dx = 2. Astfel, ∫−11f(x)dx=a⋅23+c⋅2=2a3+2c=2\int_{-1}^{1} f(x) dx = a \cdot \frac{2}{3} + c \cdot 2 = \frac{2a}{3} + 2c = 2.
23 puncte
Scrieți integrala ∫02f(x)dx\int_{0}^{2} f(x) dx și calculați-o. ∫02f(x)dx=∫02(x3+ax2+bx+c)dx=[x44+ax33+bx22+cx]02=164+a83+b42+c⋅2=4+8a3+2b+2c=4\int_{0}^{2} f(x) dx = \int_{0}^{2} (x^3 + ax^2 + bx + c) dx = \left[ \frac{x^4}{4} + a \frac{x^3}{3} + b \frac{x^2}{2} + c x \right]_{0}^{2} = \frac{16}{4} + a \frac{8}{3} + b \frac{4}{2} + c \cdot 2 = 4 + \frac{8a}{3} + 2b + 2c = 4.
32 puncte
Scrieți condiția f(1)=0f(1) = 0. f(1)=13+a⋅12+b⋅1+c=1+a+b+c=0f(1) = 1^3 + a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = 1 + a + b + c = 0.
42 puncte
Rezolvați sistemul de ecuații. Din step 1: 2a3+2c=2\frac{2a}{3} + 2c = 2 → a+3c=3a + 3c = 3. Din step 2: 4+8a3+2b+2c=44 + \frac{8a}{3} + 2b + 2c = 4 → 8a3+2b+2c=0\frac{8a}{3} + 2b + 2c = 0 → 4a+3b+3c=04a + 3b + 3c = 0. Din step 3: a+b+c=−1a + b + c = -1. Rezolvând, obținem a=3,b=−4,c=0a=3, b=-4, c=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.