MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii AritmeticeDerivate
Fie polinomul P(X)=X3+aX2+bX+cP(X) = X^3 + aX^2 + bX + c cu rădăcinile reale. Știind că rădăcinile sunt în progresie aritmetică și că polinomul derivat P′(X)P'(X) are o rădăcină dublă, iar P(0)=−6P(0) = -6, determinați polinomul P(X)P(X).

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
11 punct
Notează rădăcinile lui P(X)P(X) ca r−d,r,r+dr-d, r, r+d, unde rr și dd sunt numere reale.
22 puncte
Folosește relațiile lui Vieta: suma rădăcinilor =−a=3r= -a = 3r, suma produselor două câte două =b=(r−d)r+r(r+d)+(r−d)(r+d)=3r2−d2= b = (r-d)r + r(r+d) + (r-d)(r+d) = 3r^2 - d^2, produsul rădăcinilor =−c=(r−d)r(r+d)=r(r2−d2)= -c = (r-d)r(r+d) = r(r^2 - d^2).
31 punct
Din P(0)=c=−6P(0) = c = -6, deci c=−6c = -6, atunci −c=6=r(r2−d2)-c = 6 = r(r^2 - d^2).
42 puncte
Polinomul derivat P′(X)=3X2+2aX+bP'(X) = 3X^2 + 2aX + b are o rădăcină dublă, deci discriminantul este zero: Δ=(2a)2−4⋅3⋅b=4a2−12b=0\Delta = (2a)^2 - 4 \cdot 3 \cdot b = 4a^2 - 12b = 0, adică a2=3ba^2 = 3b.
52 puncte
Înlocuiește a=−3ra = -3r și b=3r2−d2b = 3r^2 - d^2 în a2=3ba^2 = 3b: 9r2=3(3r2−d2)=9r2−3d29r^2 = 3(3r^2 - d^2) = 9r^2 - 3d^2, deci 3d2=03d^2 = 0, adică d=0d=0.
62 puncte
Cu d=0d=0, din 6=r(r2−02)=r36 = r(r^2 - 0^2) = r^3, deci r=63r = \sqrt[3]{6}. Atunci a=−3r=−363a = -3r = -3\sqrt[3]{6}, b=3r2=3(63)2=3363b = 3r^2 = 3(\sqrt[3]{6})^2 = 3\sqrt[3]{36}, c=−6c = -6. Polinomul este P(X)=X3−363X2+3363X−6P(X) = X^3 - 3\sqrt[3]{6}X^2 + 3\sqrt[3]{36}X - 6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.