MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorIntegrale definiteStudiul funcțiilor
Fie f:[−2,2]→Rf: [-2,2] \to \mathbb{R} o funcție continuă astfel încât f(x)+f(−x)=2x2f(x) + f(-x) = 2x^2 pentru orice x∈[−2,2]x \in [-2,2]. Calculați ∫−22f(x) dx\int_{-2}^{2} f(x) \, dx folosind proprietățile integralelor definite.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se observă că din relația f(x)+f(−x)=2x2f(x) + f(-x) = 2x^2, definim g(x)=f(x)−x2g(x) = f(x) - x^2. Atunci g(x)+g(−x)=(f(x)−x2)+(f(−x)−(−x)2)=2x2−2x2=0g(x) + g(-x) = (f(x) - x^2) + (f(-x) - (-x)^2) = 2x^2 - 2x^2 = 0, deci gg este funcție impară, iar ∫−22g(x) dx=0\int_{-2}^{2} g(x) \, dx = 0.
23 puncte
Folosind liniaritatea integralei, ∫−22f(x) dx=∫−22(x2+g(x)) dx=∫−22x2 dx+∫−22g(x) dx=∫−22x2 dx\int_{-2}^{2} f(x) \, dx = \int_{-2}^{2} (x^2 + g(x)) \, dx = \int_{-2}^{2} x^2 \, dx + \int_{-2}^{2} g(x) \, dx = \int_{-2}^{2} x^2 \, dx.
33 puncte
Calculul ∫−22x2 dx=[x33]−22=83−(−83)=163\int_{-2}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} = \frac{8}{3} - \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{16}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.