MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie F={a+b2∣a,b∈Q}\mathbb{F} = \{ a + b\sqrt{2} \mid a,b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că F\mathbb{F} este un corp față de adunarea și înmulțirea obișnuite. Apoi, calculați inversul elementului 3−223 - 2\sqrt{2} în F\mathbb{F}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Închidere la adunare și înmulțire. Pentru x=a+b2,y=c+d2∈Fx = a+b\sqrt{2}, y = c+d\sqrt{2} \in \mathbb{F}, avem x+y=(a+c)+(b+d)2∈Fx+y = (a+c) + (b+d)\sqrt{2} \in \mathbb{F} și x⋅y=(ac+2bd)+(ad+bc)2∈Fx \cdot y = (ac+2bd) + (ad+bc)\sqrt{2} \in \mathbb{F}.
23 puncte
Verificăm proprietățile de inel: adunarea este asociativă, comutativă, cu element neutru 0=0+020 = 0+0\sqrt{2}, iar opusul lui xx este −a−b2-a - b\sqrt{2}. Înmulțirea este asociativă, comutativă, cu element unitate 1=1+021 = 1+0\sqrt{2}, și este distributivă față de adunare.
33 puncte
Pentru a arăta că este corp, verificăm că orice element nenul are invers. Fie x=a+b2≠0x = a+b\sqrt{2} \neq 0, atunci a2−2b2≠0a^2 - 2b^2 \neq 0 și inversul este x−1=a−b2a2−2b2∈Fx^{-1} = \frac{a - b\sqrt{2}}{a^2 - 2b^2} \in \mathbb{F}. Pentru 3−223 - 2\sqrt{2}, avem a=3,b=−2a=3, b=-2, deci inversul este 3+2232−2⋅(−2)2=3+229−8=3+22\frac{3 + 2\sqrt{2}}{3^2 - 2 \cdot (-2)^2} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{9 - 8} = 3 + 2\sqrt{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.