MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatriciAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea S={(a−bba)∣a,b∈R}S = \left\{ \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\} cu adunarea și înmulțirea matricelor. Arătați că (S,+,⋅)(S, +, \cdot) este un corp comutativ. Determinați elementul neutru la înmulțire și inversul unui element nenul (a−bba)\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} cu a2+b2≠0a^2 + b^2 \neq 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se verifică închiderea: pentru A=(a−bba),B=(c−ddc)∈SA = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} c & -d \\ d & c \end{pmatrix} \in S, suma A+B=(a+c−(b+d)b+da+c)∈SA+B = \begin{pmatrix} a+c & -(b+d) \\ b+d & a+c \end{pmatrix} \in S și produsul A⋅B=(ac−bd−(ad+bc)ad+bcac−bd)∈SA \cdot B = \begin{pmatrix} ac - bd & -(ad+bc) \\ ad+bc & ac - bd \end{pmatrix} \in S. \
22 puncte
Adunarea matricelor este asociativă și comutativă, cu element neutru (0000)∈S\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in S și invers aditiv (−ab−b−a)∈S\begin{pmatrix} -a & b \\ -b & -a \end{pmatrix} \in S pentru AA. \
32 puncte
Distributivitatea înmulțirii față de adunare rezultă din proprietățile operațiilor cu matrice. \
42 puncte
Înmulțirea este comutativă în SS deoarece A⋅B=B⋅AA \cdot B = B \cdot A pentru orice A,B∈SA, B \in S, iar elementul neutru la înmulțire este I=(1001)∈SI = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in S. \
52 puncte
Pentru A=(a−bba)A = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} nenul (a2+b2≠0a^2 + b^2 \neq 0), inversul este A−1=1a2+b2(ab−ba)∈SA^{-1} = \frac{1}{a^2 + b^2} \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \in S, deci SS este corp comutativ.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.