MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați inecuația log⁡2(x2−3x+2)≥log⁡2(4−x)\log_{2}(x^{2} - 3x + 2) \geq \log_{2}(4 - x).

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scriem condițiile de existență: x2−3x+2>0x^{2} - 3x + 2 > 0 și 4−x>04 - x > 0. Rezolvăm: x2−3x+2>0x^{2} - 3x + 2 > 0 dă x∈(−∞,1)∪(2,∞)x \in (-\infty,1) \cup (2,\infty); 4−x>04 - x > 0 dă x<4x < 4. Deci domeniul este x∈(−∞,1)∪(2,4)x \in (-\infty,1) \cup (2,4).
23 puncte
Inecuația logaritmică: log⁡2(x2−3x+2)≥log⁡2(4−x)\log_{2}(x^{2} - 3x + 2) \geq \log_{2}(4 - x) implică x2−3x+2≥4−xx^{2} - 3x + 2 \geq 4 - x, deoarece funcția logaritm cu baza 2 este crescătoare.
33 puncte
Simplificăm: x2−3x+2≥4−xx^{2} - 3x + 2 \geq 4 - x devine x2−2x−2≥0x^{2} - 2x - 2 \geq 0. Rezolvăm: rădăcinile x=1±3x = 1 \pm \sqrt{3}, deci x≤1−3x \leq 1 - \sqrt{3} sau x≥1+3x \geq 1 + \sqrt{3}.
42 puncte
Intersectăm cu domeniul: din step 1, x∈(−∞,1)∪(2,4)x \in (-\infty,1) \cup (2,4). Comparăm: 1−3≈−0.7321 - \sqrt{3} \approx -0.732 și 1+3≈2.7321 + \sqrt{3} \approx 2.732. Soluțiile finale: x∈(−∞,1−3]∪[1+3,4)x \in (-\infty, 1 - \sqrt{3}] \cup [1 + \sqrt{3}, 4).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.