MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriNumere ComplexeLegi de compoziție
Considerați mulțimea numerelor întregi Gaussiene Z[i]={a+bi∣a,b∈Z}\mathbb{Z}[i] = \{a + bi \mid a, b \in \mathbb{Z}\} unde ii este unitatea imaginară, cu i2=−1i^2 = -1. Arătați că Z[i]\mathbb{Z}[i] este un inel în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Demonstrați că este un domeniu de integritate. Funcția normă N(a+bi)=a2+b2N(a+bi) = a^2 + b^2 este multiplicativă. Folosind aceasta, determinați toate unitățile inelului Z[i]\mathbb{Z}[i].

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm că adunarea și înmulțirea sunt operații interne pe Z[i]\mathbb{Z}[i]: pentru a+bi,c+di∈Z[i]a+bi, c+di \in \mathbb{Z}[i], suma (a+c)+(b+d)i(a+c) + (b+d)i și produsul (ac−bd)+(ad+bc)i(ac - bd) + (ad + bc)i au părți întregi, deci aparțin lui Z[i]\mathbb{Z}[i]. Aceste operații satisfac axiomele inelului: asociativitate, comutativitate, distributivitate, cu element neutru 00 pentru adunare și 11 pentru înmulțire.
22 puncte
Z[i]\mathbb{Z}[i] este subinel al corpului C\mathbb{C}, deci nu are divizori ai lui zero: dacă (a+bi)(c+di)=0(a+bi)(c+di) = 0, atunci în C\mathbb{C} unul dintre factori este zero, deci a+bi=0a+bi=0 sau c+di=0c+di=0. Astfel, Z[i]\mathbb{Z}[i] este domeniu de integritate.
33 puncte
Norma N(z)=zzˉN(z) = z\bar{z} pentru z∈Cz \in \mathbb{C}; pentru z=a+biz = a+bi, N(z)=a2+b2N(z) = a^2 + b^2. Pentru z,w∈Z[i]z, w \in \mathbb{Z}[i], N(zw)=(zw)(zw‾)=zzˉwwˉ=N(z)N(w)N(zw) = (zw)(\overline{zw}) = z\bar{z} w\bar{w} = N(z)N(w), deci norma este multiplicativă.
43 puncte
Un element z∈Z[i]z \in \mathbb{Z}[i] este unitate dacă și numai dacă există w∈Z[i]w \in \mathbb{Z}[i] cu zw=1zw=1. Atunci N(z)N(w)=N(1)=1N(z)N(w) = N(1) = 1, deci N(z)=1N(z) = 1 deoarece N(z)N(z) este întreg nenegativ. Rezolvăm a2+b2=1a^2 + b^2 = 1 cu a,b∈Za, b \in \mathbb{Z}, obținând soluțiile: a=1,b=0a=1, b=0; a=−1,b=0a=-1, b=0; a=0,b=1a=0, b=1; a=0,b=−1a=0, b=-1. Astfel, unitățile sunt: 1,−1,i,−i1, -1, i, -i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.